i , junio, 2019 Departamento de Ingeniería Civil Título del trabajo: Optimización de conjuntos estructurales de Hormigón Armado Autor del trabajo: Rolando Abel Rodríguez León Autor del trabajo: Rolando Abel Rodríguez León Tutor del trabajo: MsC. Ing, Iván Negrín Díaz Dr. Ing. Ernesto Chagoyén Méndez ii , June, 2019 Academic Departament of Civil Engineering Title: Optimization of structural assemblies of Reinforced Concrete Author: Rolando Abel Rodríguez León Thesis Director: MsC. Ing. Iván Negrín Díaz Dr. Ing. Ernesto Chagoyén Méndez D iii Este documento es Propiedad Patrimonial de la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas, y se encuentra depositado en los fondos de la Biblioteca Universitaria “Chiqui Gómez Lubian” subordinada a la Dirección de Información Científico Técnica de la mencionada casa de altos estudios. Se autoriza su utilización bajo la licencia siguiente: Atribución- No Comercial- Compartir Igual Para cualquier información contacte con: Dirección de Información Científico Técnica. Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. Carretera a Camajuaní. Km 5½. Santa Clara. Villa Clara. Cuba. CP. 54 830 Teléfonos.: +53 01 42281503-1419 I DEDICATORIA A mis padres, a mi hermano menor, a mis abuelos y a mis amigos por apoyarme durante tantos años sin declinar en ningún momento. II AGRADECIMIENTOS  A mis padres Rolando Eugenio y María del Carmen, principales impulsores y motivadores para la realización de mi carrera universitaria.  A mi hermano Ronnie, que sigue mis pasos ingresando en la educación superior en la carrera de Ingeniería Mecánica.  A mis amigos José Rafael y Ángel Amed, que a pesar de graduarse antes que yo y ser de diferentes provincias y municipios todavía están en contacto brindando su apoyo.  A los amigos Leo y Arnaldo que vienen junto a mi desde la educación primaria y secundaria.  A mi abuela Diela Hernández, por su ayuda incondicional en la realización de trabajos de investigación.  A mis abuelos maternos por su apoyo a pesar de su edad y su salud.  A mi tutor, por encontrar siempre un tiempo para mí en su apretada agenda.  A los profesores de la Facultad de Construcciones de la UCLV por su arduo trabajo en mi desarrollo como profesional. III RESUMEN En este trabajo se presenta la optimización mediante Algoritmos Genéticos (GA) y Optimización por Enjambre de Partículas (PSO) de una estructura aporticada de hormigón armado de dos niveles de 2.75m de alto cada uno empleando la herramienta Diseño Optimo de Conjuntos Estructurales (DOCE) programada sobre la base de las funciones del CSi API SAP2000-MATLAB. Se pretende demostrar que el empleo de esta herramienta resultará beneficioso para los especialistas en el diseño de estructuras de hormigón armado formadas principalmente por vigas, columnas y cimientos aislados. Por otra parte, se establecen ciertas comparaciones sobre la optimización de este tipo de estructuras, además del uso de los diferentes métodos de optimización. ABTRACT In this work we present the optimization using Genetic Algorithms (GA) an Particle Swarm Optimization (PSO) of a reinforced concrete structure of two levels of 2.75m high each, using the tool Optimum Design of Structural Sets (ODSS) programmed on the basis of the functions of the CSi API SAP2000- MATLAB. It is intended to demonstrate that the use of this tool will be beneficial for specialists in the design of reinforced concrete structures consisting mainly of beams, columns and insulated foundations. On the other hand, some comparisons are established on the optimization of this type of structures, besides of the different optimizations methods use. IV TABLA DE CONTENIDO DEDICATORIA ................................................................................................... I AGRADECIMIENTOS ........................................................................................ II RESUMEN ........................................................................................................ III ABTRACT ......................................................................................................... III INTRODUCCIÓN ............................................................................................... 1 CAPÍTULO 1. Estado del conocimiento sobre la optimización estructural. 4 1.1 Introducción: ........................................................................................... 4 1.2 Estado del conocimiento sobre la optimización estructural:.............. 4 1.3 Desarrollo sobre optimización estructural en Cuba: ........................... 7 1.3.1 Desarrollo de investigaciones de optimización en el Departamento de ingeniería Civil en la UCLV: ........................................ 8 1.4 Formulación matemática de un problema de optimización: ............... 9 1.4.1 Objetivo de la optimización: .......................................................... 10 1.4.2 Formulación matemática del problema. Definición: .................... 12 1.5 Métodos de solución de problemas de optimización: ....................... 15 1.5.1 Métodos cásicos: ............................................................................ 15 1.5.2 Métodos Heurísticos: ..................................................................... 15 1.5.3 Métodos Meta-heurísticos: ............................................................ 15 1.5.4 Algoritmos Genéticos: ................................................................... 16 1.5.5 Enjambre de partículas: ................................................................. 19 1.6 Empleo de la computación para resolver problemas de optimización estructural: .................................................................................................. 24 1.6.1 MATLAB: ......................................................................................... 24 1.6.2 SAP 2000: ........................................................................................ 26 1.6.3 Application Programming Interface (API): .................................... 27 1.7 Conclusiones parciales del capítulo: .................................................. 29 V CAPÍTULO 2. Formulación del problema de optimización de conjuntos estructurales. .................................................................................................. 30 2.1 Introducción .......................................................................................... 30 2.2 Selección del criterio de optimización. ............................................... 30 2.3 Elección de los parámetros asignados. .............................................. 30 2.4 Definición de la función objetivo. ........................................................ 32 2.4.1 Costo de la viga. ............................................................................. 32 2.4.2 Costo de las columnas. .................................................................. 35 2.4.3 Costo de los cimientos. .................................................................. 38 2.5 Elección de las variables. ..................................................................... 41 2.6 Identificación de las restricciones. ...................................................... 42 2.6.1 Restricciones implícitas. ................................................................ 42 2.6.2 Restricciones explicitas. ................................................................ 46 2.7 Herramienta DOCE ................................................................................ 47 2.7.1 Interfaz Gráfica (GUI) de DOCE...................................................... 47 2.7.2 Leer .................................................................................................. 47 2.7.3 Modelo ............................................................................................. 48 2.7.4 Elemento/Grupos ............................................................................ 48 2.7.5 Materiales ........................................................................................ 49 2.7.6 Restricciones .................................................................................. 49 2.7.7 Optimización ................................................................................... 50 2.7.8 Costos .............................................................................................. 50 2.7.9 Ayuda ............................................................................................... 51 2.7.10 Resultados .................................................................................... 51 2.7 Conclusiones parciales del capítulo. .................................................. 51 Capítulo 3. Aplicación de la metodología a un caso de estudio. Resultados ......................................................................................................................... 53 3.1 Introducción .......................................................................................... 53 VI 3.2 Resultados referidos a los métodos de optimización utilizados ...... 53 3.2.1 Análisis de sensibilidad de parámetros de GA ............................ 54 3.2.2 Comparación de GA con PSO........................................................ 56 3.2.3 Comparación del tiempo computacional en el proceso de optimización ............................................................................................. 58 3.3 Resultados estructurales ..................................................................... 59 3.3.1 Vigas ................................................................................................ 59 3.3.2 Columnas ........................................................................................ 60 3.3.3 Cimientos ........................................................................................ 61 3.4 Conclusiones parciales del capítulo ................................................... 62 CONCLUSIONES GENERALES ..................................................................... 64 RECOMENDACIONES .................................................................................... 66 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 67 ANEXOS .......................................................................................................... 79 1 INTRODUCCIÓN La optimización se puede definir como: “… un proceso a través del cual se busca obtener o determinar la mejor solución posible, de entre un grupo de resultados, que a su vez satisface las restricciones que presenta el sistema al cual se aplica” (Lozano y Velázquez, 2008); matemáticamente, la optimización significa: “La búsqueda del máximo o mínimo de una función objetivo” (Annicchiarico, 2007) y ,más específicamente, la optimación estructural se puede definir como: “una fusión en las áreas de ingeniería, matemáticas, ciencia y tecnología, que tiene la meta de obtener la mejor función de una estructura, como puede ser un puente, un vehículo espacial o simplemente un elemento mecánico, bajo un sistema de cargas y restricciones.” (Velázquez, 2009) La evolución histórica y el desarrollo metodológico de las técnicas de optimización estructural están marcadas por una serie de hitos de importancia singular, que provocaron alteraciones radicales en los planteamientos asumidos por la comunidad científica hasta el momento de su aparición, o cuanto menos permitieron la apertura de nuevas y profundas líneas de investigación. En las últimas décadas, sin embargo, y como sucede en tantas otras ramas de la ciencia, el crecimiento constante del volumen de investigaciones en curso, la aplicación generalizada de técnicas de gran sofisticación, la interrelación existente entre breas de conocimiento dispares, la calidad y cantidad de conocimientos acumulados, y la transmisión constante de información entre los científicos, han provocado un cambio cualitativo en la evolución de las técnicas de optimización estructural; la evolución marcada por hitos aislados y claramente identificables de antaño se ha transformado en la actualidad en una evolución casi continua. Parte de esta evolución continua es el desarrollo de herramientas como son: métodos analíticos, normas, manuales y programas de cómputo, los cuales son capaces de llevar a cabo con una mayor eficiencia y rapidez las ideas conceptuales de los especialistas. Uno de estos programas es el CSi API Sap2000- MATLAB el cual será la herramienta principal utilizada en este Trabajo Diploma. 2 Planteamiento del Problema Científico: ¿Será la herramienta DOCE una alternativa factible para la optimización del diseño de estructuras aporticadas de hormigón armado? ¿Se obtendrán resultados satisfactorios al optimizar el diseño de simplificaciones de estructuras complejas? ¿Cuáles serán las principales diferencias? Objeto de Estudio: Modelación, análisis y diseño de estructuras; métodos y procedimientos de optimización estructural de conjuntos estructurales aporticados de hormigón armado; CSi API SAP2000-MATLAB. Objetivo General: Aplicar la herramienta Diseño Óptimo de Conjuntos Estructurales “DOCE” a diferentes casos de estudio, realizando la formulación matemática del problema en cuestión y aplicando diferentes métodos metahuristicos para su resolución, validando su uso y brindando recomendaciones de diseño y del uso de los métodos de optimización empleados a partir de los resultados obtenidos. Objetivos Específicos: 1) Establecer el estado actual del conocimiento sobre la optimización estructural, la formulación de un problema de optimización estructural, los métodos para realizar la optimización y el empleo del CSi API SAP2000- MATLAB. 2) Elaborar una estructura para la formulación de un problema de optimización estructural utilizando las funciones de la CSi API SAP2000 – MATLAB, que permita su aplicación a diferentes casos de estudio de estructuras aporticadas de hormigón armado. 3) Aplicar la herramienta DOCE a diferentes casos de estudio, garantizando su continuo perfeccionamiento y validando el uso de esta. 4) Fundamentar las conclusiones del trabajo, a partir de los resultados obtenidos de la solución a los diferentes problemas y elaborar recomendaciones de diseño y del uso de los diferentes métodos de optimización. 3 Hipótesis: El uso de la herramienta DOCE brinda resultados satisfactorios en la optimización de estructuras aporticadas de hormigón armado, garantizando soluciones más económicas y eficientes en un tiempo relativamente corto. Novedad científica: La organización de los comandos de la CSi API SAP2000-MATLAB y la utilización de una interfaz que permite la introducción de los datos de una forma más sencilla y didáctica, los cuales son fundamentales en el proceso de optimización. Valor metodológico: Elaborar una estructura para la formulación de un problema de optimización estructural utilizando la CSi API SAP2000 – MATLAB que resulte efectiva y sencilla, la cual sirva como base para futuras investigaciones en las cuales intervenga el uso de la CSi API SAP2000-MATLAB. Valor práctico: El presente trabajo tiene un gran valor práctico pues sus resultados unifican criterios de optimización que generalmente se empleaban en elementos aislados permitiendo obtener una solución de estructura óptima verdadera. Organización del informe: Resumen Introducción Capítulo 1: Estado del conocimiento sobre la Optimización Estructural, los métodos de optimización y el empleo de CSi API SAP2000-MATLAB. Capítulo 2: Formulación del problema de optimización de conjuntos estructurales. Capítulo 3: Aplicación de la metodología a un caso de estudio. Resultados. Conclusiones y Recomendaciones Bibliografía Anexos 4 CAPÍTULO 1. Estado del conocimiento sobre la optimización estructural. 1.1 Introducción: La búsqueda de estructuras resistentes, rígidas, con poco peso y que cumplan su funcionalidad correctamente, en otras palabras, una estructura optima, siempre ha sido uno de los objetivos fundamentales de la ingeniería. Para obtener estructuras de este tipo, desde los comienzos de la humanidad el hombre ha experimentado con una gran variedad de técnicas constructivas. En un principio muchas de ellas se basaban en “Ensayo y Error”; luego con la aparición de las matemáticas y las leyes de la mecánica, estas técnicas se fundamentaron en una metodología de cálculo estructural. Con el desarrollo del método del Cálculo Matricial de Estructuras de Barras y el Método de los Elementos Finitos, en el siglo XX, se lograron afianzar metodologías más rigurosas en el ámbito del análisis estructural, las cuales se basan en la optimización según su forma (Geometría), distribución de esfuerzos (Topología) o cambio de sección en toda su geometría. Uno de los primeros trabajos sobresaliente en el ámbito de la optimización estructural fue realizado por Galileo Galilei (1564-1642), donde intento encontrar la forma óptima de una viga en voladizo, con una carga puntual en su extremo libre. Con el desarrollo de matemáticas modernas y más complejas, implementadas en las herramientas computacionales, se lograrían sentar los cimientos para el desarrollo de los métodos y técnicas actuales para la optimización de funciones. La tendencia actual del desarrollo e implementación de metodologías de optimización estructural se ven evidenciadas en las dos técnicas de optimización con más producción científica: los algoritmos genéticos y la programación matemática, no obstante, en general, las técnicas de búsqueda heurística tienen más relevancia que la programación matemática lineal. 1.2 Estado del conocimiento sobre la optimización estructural: Es realmente difícil precisar el momento exacto en que surge el concepto de optimización en el ámbito del diseño en general, por esa misma razón es que se hace prácticamente imposible precisar la fecha exacta en el que se emplea por vez primera dicho concepto en el diseño estructural, entendido éste en el 5 sentido amplio de buscar la solución estructural más deseada desde cualquier punto de vista, ya sea económico, de utilidad, etcétera. (Hernández S. , 1991) (Castellanos J. , 2000) (Negrín A. , Un enfoque general sobre diseño óptimo de estructuras, 2005) A mediados del siglo XX A. Mitchell valiéndose del teorema desarrollado por Clerk Maxwell, impondría los criterios para el diseño óptimo de barras de peso mínimo, desarrollando un nuevo teorema según el cual: “Una estructura alcanza el limite absoluto en la economía de material, si el espacio ocupado por esta puede ser sometido a una deformación pequeña, tal que la deformación unitaria de todas las barras de la estructura se incrementa no menos que el cambio de longitud relativo de cualquier elemento en el espacio”. No obstante, los modelos estructurales propuestos por Mitchell carecían de eficiencia en el ámbito práctico; esto debido a que, gran parte de sus modelos ostentaban una gran cantidad de barras, además de ser estrictamente isostático. J. Barta en 1957 publica su investigación, en la cual determina los conjuntos de barras redundantes, con el fin de probar la veracidad del teorema de G. Sved según el cual, tras la eliminación de las barras redundantes de una estructura, es posible obtener una estructura determinada, con un mínimo peso siendo este un método de optimización basado en un estado de cargas dado. La analogía de Mitchell fue ampliamente estudiada por Prager y Rozvany, los cuales desarrollaron la teoría de la distribución óptima de las estructuras reticulares; los resultados de estos trabajos cimentaron las bases para el desarrollo de trabajos en el ámbito de la programación lineal enfocada en problemas estructurales. Algunos de los trabajos más representativos y relacionados con la investigación sobre la optimización estructural son presentados en la Tabla 1.1 (Paya, Optimización heurística de pórticos de edificación de hormigón armado., 2007). Tabla 1.1 Trabajos más representativos sobre la optimización estructural. Autor Año Descripción Moragues 1980 Aplicó los métodos exactos al diseño de estructuras aporticadas de hormigón armado considerando como 6 función a minimizar el coste de la estructura. Utilizó hasta 7 variables. Coello et al. 1997 Utilizó Algoritmos Genéticos (GA) para la optimización de una viga vi apoyada con tres variables en el problema. Balling y Yao 1997 Aplicó el método exacto, multinivel y exacto simplificado para la optimización de pórticos de edificación de hasta 2 niveles llegando a tener hasta 20 variables. Rajev y Krishnamoorty 1998 Optimización de pórticos de edificación de hasta 6 niveles y 3 luces, con un máximo de 29 variables. Koumosis y Arsenis 1998 Optimización de vigas continuas de hasta 3 luces mediante GA con 9 variables en el proceso de optimización. Leps y Sejnoha 2003 Optimización de vigas continuas de dos luces mediante una hibridación de GA y recocido simulado (SA) con 9 variables. Lee y Ahn 2003 Optimización de varias estructuras, siendo la más compleja un pórtico de 20 niveles y 2 luces utilizando GA. Utilizó hasta 13 variables. Camp et al. 2003 Utilizaron GA para la optimización de varias estructuras, entre ellas el pórtico de Krishnamoorty (Nl=2, Nn=6). Sahab et al. 2004, 2005 Utilizaron un GA híbrido y exploración exhaustiva para la optimización de edificios con forjados tipo losas, incluyendo hasta 36 variables en el proceso. Govindaraj y Ramasamy 2005 Optimizaron vigas continuas utilizando GA y exploración exhaustiva con hasta 3 variables. Leps 2005 Utilizaron GA y SPGA para la optimización de vigas vi apoyadas y en voladizo con tres variables. Payá 2007 Optimización mono y multi-objetivo de pórticos de HA, utilizando métodos heurísticos. Martínez et al. 2010 Optimización económica de los pilares de puentes de hormigón armado (RC) con huecos secciones rectangulares y describe la eficiencia de tres algoritmos heurísticos: dos nuevas variantes el algoritmo de optimización de colonias de hormigas (ACO), el algoritmo genético (GA) y el algoritmo de umbral de aceptación (TA). Oscar Möller et al. 2014 Se propone una metodología de optimización de estructuras para construcciones sismo-resistentes. Luz et al. 2015 Se presenta el diseño automático de estribos abiertos de hormigón armado en puentes de carretera de coste 7 mínimo, empleando para ello dos algoritmos híbridos de escalada estocástica con operadores de mutación basados en los algoritmos genéticos. García Segura et al. 2017 Optimización multiobjetivo del diseño de puentes viales de hormigón postensado utilizando redes neuronales artificiales. Los criterios de optimización fueron: costo, seguridad y el tiempo de inicio de la corrosión. Penadés Plà et al. 2019 Se aplica la optimización heurística convencional y la optimización heurística basada en kriging (metamodelo) para alcanzar la solución óptima de un puente peatonal de viga de cuadro continuo de tres tramos con energía de baja incorporación. En muy pocos casos se relaciona información sobre la consideración del análisis no lineal de estructuras por geometría, o la reducción de la inercia por la fisuración, que ocurre en elementos de H. A. En ninguno se toma en cuenta la ISE. (Negrín I., 2019) 1.3 Desarrollo sobre optimización estructural en Cuba: La optimización estructural en Cuba empezó a estilarse de una forma “instintiva” desde que se comenzaron a emplear métodos de diseño estructural sobre bases científicas. Esto se observa en la introducción del Método de los estados Límites en hormigón Armado, implantados en Cuba por el profesor Pimpo Hernández, luego el profesor Francisco Medina en 1966 brinda el primer curso completo sobre Cálculo de Hormigón Armado. En el primer trabajo con bases científicas publicado en la Revista Ingeniería Civil del año 1973 por el Ing. Cesar Rivero: “Optimización de losas de hormigón armado” se plantea una aplicación sencilla, pero con una fuerte base teórica, de la programación lineal del diseño óptimo de una losa de hormigón armado. A finales de los años ‘70 y principios de los ‘80 surgen una serie de trabajos que, aunque tuvieron sus limitaciones, marcan el inicio del desarrollo de la optimización en Cuba. “A finales de los ‘80 en Cuba se pueden señalar algunos trabajos que tratan el tema de optimización estructural sobre bases “científicas”: unos se basan en rastreo de variables, otros en el uso de la programación lineal y otro método de solución de los problemas de optimización. Se debe reconocer como los primeros, pero se debe analizar sus 8 limitaciones.” (Negrín A., Diseño óptimo de estructuras de hormigón armado a flexo-compresión., 1988) 1.3.1 Desarrollo de investigaciones de optimización en el Departamento de ingeniería Civil en la UCLV: En la tabla 1.2 se muestran los principales trabajos investigativos y tesis doctorales realizadas en el Departamento de Ingeniería Civil de la UCLV relacionados con la optimización de estructuras de hormigón: Tabla 1.2: Principales trabajos investigativos y tesis doctorales relacionados con la optimización estructural realizados en el DIC en la UCLV: Autor Año Tema de investigación Torres 1978 Cálculo de secciones económicas en vigas rectangulares. Broche y Benítez 1985 Optimización de cimientos y columnas de naves industriales con cubierta pesada, no se considera un verdadero trabajo de optimización pues fue un análisis de variantes y la aplicación de métodos racionales de diseño de columnas y cimentaciones, desarrollados por los profesores J.J. Hernández y G. Quevedo. Gutiérrez 1986 Optimización de estructuras. Revisión bibliográfica, se presenta una amplia descripción bibliográfica (64 libros y artículos) inicial del tema de optimización estructural. Negrín A. 1988 Diseño óptimo de estructuras de hormigón armado a flexo-compresión. Hernández 1999 Optimización de cimentaciones aisladas superficiales. Castellanos J. 2000 Reafirma, con una mejor formulación matemática, con más conocimiento de causa y más resultados obtenidos, todas las conclusiones planteadas por Negrín A., 1988. Negrín A. 2005 Un enfoque general sobre diseño óptimo de estructuras. Chagoyén, Negrín, Cabrera, López, & Padrón 2009 Diseño óptimo de cimentaciones superficiales rectangulares. Formulación. Negrín M. 2010 Optimización de conjuntos estructurales de edificios aporticados de hormigón armado 9 Rodríguez 2010 Optimización de Cimentaciones Superficiales Aisladas en Suelos Cohesivos – Friccionales. Padrón 2012 Optimización de Cimientos Rectangulares Aislados. Negrín D. 2016 Se logró estructurar y programar un algoritmo en MATLAB con bases en las funciones del CSi API que permite la interacción de los programas de modelación, análisis y diseño de la familia CSi con los súper lenguajes de programación (en este caso fue SAP2000-MATLAB). Medina S. 2018 Se adaptó el algoritmo y se creó una GUI sencilla para facilitar el proceso de intercambio de información con dicho algoritmo, lográndose resultados satisfactorios y brindándole una mayor funcionalidad a la herramienta. 1.4 Formulación matemática de un problema de optimización: La formulación del problema de optimización estructural es donde se definen las variables, la o las funciones objetivos y las restricciones, por lo que una correcta formulación es esencial para obtener resultados satisfactorios. En (Negrín M, Optimización de conjuntos estructurales de edificios aporticados de hormigón armado. , 2010)se plantea: “En un problema de optimización estructural existe una solución única para una variante específica, por lo que los resultados de la optimización van a depender fundamentalmente de los parámetros asignados”. El problema de la optimización de una estructura se formula matemáticamente de la siguiente forma: min f (x) Sujeta a: g(x) = 0 h(x) ≤ 0 En donde: x Variables de diseño. f () Función objetivo. 10 g () Restricción de igualdad. h () Restricción de desigualdad. Las funciones f(), g() y h() pueden ser funciones lineales y/ó no lineales. 1.4.1 Objetivo de la optimización: La Optimización matemática es la selección del mejor elemento (con respecto a algún criterio) de un conjunto de elementos disponibles. En el caso más simple, un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función real eligiendo sistemáticamente valores de entrada y computando el valor de la función. La generalización de la teoría de la optimización y técnicas para otras formulaciones comprende un área grande de las matemáticas aplicadas. De forma general, la optimización incluye el descubrimiento de los "mejores valores" de alguna función objetivo, dado un dominio definido, incluyendo una variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios (Roque, 2017). Es decir que el problema de optimización radica en, según el tipo de elemento a construir y teniendo en cuenta las cargas que se aplican, alcanzar la mejor solución que compense todos los requerimientos (fisuración, deformación, estabilidad, entre otros.) y que evalúe fielmente las exigencias de economía, durabilidad, seguridad, factores arquitectónicos y constructivos. Se puede apreciar entonces que la optimización de estructuras no es una “investigación a ciegas” entre disímiles variedades de solución de un propósito dado, sino un complicado problema en el que intervienen una inmensidad de componentes que trasgreden en la correcta solución del problema y que para alcanzarlo es necesario una sólida base científica. Para ello se hace imprescindible formular matemáticamente el problema que, como se mencionó anteriormente, es el paso más importante del proceso investigativo (Roque, 2017). Algunos de los criterios u objetivos más utilizados son: Mínimo costo total: Es el más usado en nuestra esfera y su esencia estriba en las exigencias de economía a partir de la cual se debe lograr el valor mínimo de la suma de todos los gastos para la construcción de una estructura. 11 Mínimo peso: Debe lograrse un diseño cuya estructura sea la más aligerada posible. Este criterio se usa generalmente en la aviación. Mínimo gasto de armaduras: Este criterio tiene su mayor aplicación en lugares donde escasea el acero. Mínimo gasto de hormigón: Este aspecto se debe tener en cuenta en los lugares donde los recursos para su elaboración no abunden. Mínimo gasto de encofrado: Este criterio se lleva a cabo en lugares donde no existan los recursos maderables necesarios para llevar a cabo una construcción que los requiera. Mínimo costo de transportación y montaje: Logra que la obra se ejecute lo más cerca posible de la fuente de materia prima en el caso del transporte y en el caso del montaje logra una eficiente planificación de los equipos. Mínimo espacio funcional útil: Este criterio encuentra su mayor uso en los proyectos arquitectónicos ya que aquí se trata de optimizar el espacio tomado como función objetivo, el área del local e imponiendo diferentes restricciones. Seguridad: Se puede incorporar mediante un coeficiente de seguridad global de la estructura que sirve de herramienta para evaluar el costo de incrementar la seguridad. Aspectos medioambientales: Para estimar objetiva y cuantitativamente la sostenibilidad de un producto se puede emplear la técnica de la Evaluación del Ciclo de Vida o Life Cycle Assessment (LCA). Este análisis permite evaluar el impacto potencial sobre el medioambiente de un producto, proceso o actividad a lo largo de todo su ciclo de vida mediante la cuantificación del uso de recursos ("entradas" como energía, materias primas, agua) y emisiones medioambientales ("salidas" al aire, agua y suelo) asociados con el sistema que se está evaluando. (Payá I. , 2007) Facilidad constructiva: Se puede evaluar mediante el número de barras de refuerzo longitudinal ya que a menos barras más facilidades constructivas se ofrecen, además de reduce el riesgo de cometer errores en el proceso constructivo. 12 1.4.2 Formulación matemática del problema. Definición: La formulación consiste en pasar la información verbal del problema a lenguaje matemático. Para la formulación matemática del problema, además de identificar y comprender las ecuaciones a utilizar, es muy importante que las dimensiones y el significado físico de cada término de las mismas, sean congruentes, así como el resultado de las estas debe acercarse a la realidad (Roque, 2017). 1.4.2.1 Función Objetivo: La función objetivo, es la que mide cuantitativamente el funcionamiento del sistema en minimización de esta, y es la base para seleccionar dentro de una gama de diseños aceptables (Negrín I., 2019). Debido a la versatilidad de la función objetivo para adaptarse al problema propuesto, esta función puede ser continua, discreta o mezclada en aquellos casos en donde entre ciertos intervalos la función se define como discreta y en otros intervalos se define como continua. Además de esto, la convexidad de la función objetivo determina la existencia de un único punto óptimo o caso contrario, la existencia de múltiples puntos óptimos (Cujia Meza, 2010). Un ejemplo de función objetivo para el costo económico de una viga puede ser: ... CICMCACCECACBCtotal (1.1) Dónde: totalC Costo total. CB Costo de hormigón. CA Costo de armadura principal. CE Costo de encofrado CAC Costo de acero de los cercos. CM Costo de montaje CI Costo de izaje 13 Como se puede apreciar, la función objetivo (1.1) puede resultar compleja y muy difícil de obtener. En la actualidad la mayoría de los autores la enfocan de una forma aproximada y más sencilla: CACBCACBCtotal   (1.2) Donde φ es un coeficiente que pone el costo de los otros factores en función de los costos del hormigón o del acero. Pero esto es sólo una aproximación para la cual hay que suponer y prefijar muchos valores, incluso muchos autores solamente con el costo del hormigón más el costo del acero, obteniendo con ello resultados muy aproximados pero valederos (Negrín I., 2019). 1.4.2.2 Variables: Representan los parámetros que están presentes en la función objetivo, los cuales pueden tomar diferentes valores en el proceso de optimización, para un problema de costo mínimo en vigas puede ser: b , h , ´ cf , yf , sA , ´ sA De forma general se pueden plantear como 654321 ;;;;; xxxxxx ó 61 .......,,......... xx Estos parámetros variables se dividen en: 1.- Parámetros variables externos (independientes): Son aquellas variables que no dependen de otras o sea que se fijan antes de comenzar el problema. nxx .......,,.........1 En nuestro caso: b , h , ´ cf , yf 2.- Parámetros variables internos (dependientes): Son aquellas variables que dependen de las variables externas, denotadas de la siguiente forma: 11 .......,,......... xxn En nuestro caso: sA , ´ sA De la formulación general se nota que la función objetivo depende directamente de los parámetros variables que entran en el proceso. Estas variables son parámetros que dependen de varios factores, que tienen dependencias entre sí y que, además, sufren restricciones por varias exigencias. (Negrin M., 2014) 14 1.4.2.3 Restricciones: Las restricciones en diseño estructural son generalmente limitaciones en los esfuerzos o en los desplazamientos, pero también pueden tomar la forma de restricciones en frecuencias de vibración, constructivas, etc. En el caso de la optimización estructural se puede hablar de dos tipos fundamentales de restricciones: implícitas y explicitas. Las primeras son las que establecemos dentro del algoritmo de solución, y, están relacionadas con el cumplimiento de las condiciones de resistencia y rigidez, mientras que las segundas, están relacionadas, generalmente de forma directa con las variables y en su intervalo de movimiento (mínimo y máximo), y se representan directamente en las opciones del método de optimización. Como ejemplo de restricciones en el diseño a flexión y/o flexo-compresión tenemos: nu MM  ;   fis ;   Es decir, el cumplimiento de los estados límites. Aunque es bueno señalar que a veces estos en un problema son ecuaciones de estado y no restricciones. Otras restricciones del problema - minhh  (para no usar refuerzo en compresión) - balanceada  (para lograr diseños útiles) - min  - 1000 H En columnas y tímpanos. - bh 5.1 Peralto mínimo - bh 4 Peralto máximo. - límite %20 (depende de la norma del país) “De la cuidadosa elección de las restricciones en un problema dado depende en gran medida toda la formulación matemática, la correcta solución del problema y lo más importante: que los resultados sean valederos.” (Negrín A., Un enfoque general sobre diseño óptimo de estructuras, 2005) 15 1.5 Métodos de solución de problemas de optimización: Los métodos de optimización implican procesos matemáticos que según su naturaleza se pueden clasificar en dos grandes grupos: Métodos Clásicos (Usan las derivadas) y los Métodos Heurísticos (no usan derivadas de la función objetivo) (Cujia Meza, 2010). 1.5.1 Métodos cásicos: Al referirse a métodos clásicos, se podría percibir la idea de antigüedad entre otras cosas debido a que la palabra clásicos posee muchas formas de interpretación, para el desarrollo de este trabajo un método de optimización clásico es aquel que usa las derivadas (gradientes). Se puede decir que estos métodos buscan y garantizan un óptimo local, pero sin un tiempo determinado. Los métodos con derivadas se basan en tres algoritmos fundamentales: pendiente máxima (steepest descent), el método de Newton y el método Levenberg-Marquart. Sin embargo, no son los únicos métodos y algoritmos, pero todos los demás resultan de mejoras y combinaciones de estos(Cujia Meza, 2010). 1.5.2 Métodos Heurísticos: Un método heurístico es aquel que no utiliza metodología común, y rigurosa para obtener un resultado. De manera general estos métodos dan un resultado aceptable en tiempo aceptable, además de su aplicabilidad cuando se presenta una función objetivos con múltiples puntos óptimos o cuando estas funciones están compuestas por intervalos continuos y discretos. Para la clasificación presentada todos aquellos métodos que no usan derivadas de la función objetivo (método riguroso), sino que usan la función objetivo como tal. Su manera de buscar soluciones se fundamenta en el uso de conceptos intuitivos basados en sistemas naturales, como por ejemplo la evolución. El solo hecho de no usar derivadas que en ciertos casos pueden ser tediosas o aun casi imposibles de obtener, les da a estos métodos una flexibilidad, y una gran extensión de aplicabilidad cuando las condiciones del modelo son complejas (Cujia Meza, 2010). 1.5.3 Métodos Meta-heurísticos: 16 Son procedimientos para resolver un problema de optimización bien definido mediante una aproximación intuitiva, en la que la estructura del problema se utiliza de forma inteligente para obtener una buena solución (Cunquero). Además, pueden definirse como estrategias generales de resolución y reglas de decisión utilizadas por los que desean solucionar problemas, basadas en la experiencia previa con problemas similares (Brito Jennifer, 2012). Estas estrategias indican las vías o posibles enfoques a seguir para alcanzar una solución. Estos métodos dan un resultado aceptable en tiempo aceptable, además de su aplicabilidad cuando se presenta una función objetivos con múltiples puntos óptimos o cuando estas funciones están compuestas por intervalos continuos y discretos. Además, usan la función objetivo como tal y no derivadas de dicha función (Negrín I., 2019). 1.5.4 Algoritmos Genéticos: Los Algoritmos Genéticos son métodos adaptativos, generalmente usados en problemas de búsqueda y optimización de parámetros, basados en la reproducción sexual y en el principio supervivencia del más apto. Más formalmente, y siguiendo la definición dada por Goldberg, “los Algoritmos Genéticos son algoritmos de búsqueda basados en la mecánica de selección natural y de la genética natural. Combinan la supervivencia del más apto entre estructuras de secuencias con un intercambio de información estructurado, aunque aleatorizado, para constituir así un algoritmo de búsqueda que tenga algo de las genialidades de las búsquedas humanas” [Goldberg, 1989]. Para alcanzar la solución a un problema se parte de un conjunto inicial de individuos, llamado población, generado de manera aleatoria. Cada uno de estos individuos representa una posible solución al problema. Estos individuos evolucionarán tomando como base los esquemas propuestos por Darwin sobre la selección natural, y se adaptarán en mayor medida tras el paso de cada generación a la solución requerida (Gestal M., Introducción a los Algoritmos Genéticos, 2014). Estos algoritmos presentan sus ventajas y desventajas como:  Operan de forma simultánea con varias soluciones, en vez de trabajar de forma secuencial como las técnicas tradicionales. 17  Cuando se usan para problemas de optimización maximizar una función objetivo- resultan menos afectados por los máximos locales (falsas soluciones) que las técnicas tradicionales.  Resulta sumamente fácil ejecutarlos en las modernas arquitecturas masivamente paralelas.  Usan operadores probabilísticos, en vez de los típicos operadores determinísticos de las otras técnicas.  Pueden tardar mucho en converger, o no converger en absoluto, dependiendo en cierta medida de los parámetros que se utilicen tamaño de la población, número de generaciones, etc.  Pueden converger prematuramente debido a una serie de problemas de diversa índole. GA funciona básicamente siguiendo estos pasos: 1. El algoritmo comienza creando una población inicial aleatoria. 2. El algoritmo crea una secuencia de nuevas poblaciones. En cada paso, el algoritmo utiliza los individuos en la generación actual para crear la siguiente población. Para crear la nueva población, el algoritmo realiza los siguientes pasos: a. Califica a cada miembro de la población actual calculando su valor de aptitud. b. Escala los puntajes de aptitud bruta para convertirlos en un rango de valores más utilizable. c. Selecciona miembros, llamados padres, según su estado físico. d. Algunos de los individuos en la población actual que tienen una forma física más baja son elegidos como élite. Estas personas de élite son aprobadas a la población local. e. Produce niños de los padres. Los niños se producen ya sea mediante cambios aleatorios en una mutación parental única o mediante la combinación de las entradas de vectores de un par de padres-crossover. f. Reemplaza la población actual con los niños para formar la próxima generación. 3. El algoritmo se detiene cuando se cumple uno de los criterios de parada. 18 Fig. 1.1: Diagrama de un GA simple (Payá I. , 2007) Algunas de las opciones que se pueden variar y que tienen gran relevancia en el comportamiento del método en los diferentes casos se explican a continuación, ya que el usuario tiene la opción de escoger y adaptar el método a su conveniencia: Tamaño de población (PopulationSize): tamaño de la población o número de individuos generados por generación, un mayor número de estos garantiza una búsqueda más exhaustiva por el espacio de soluciones a costa de un mayor tiempo y costo computacional. El valor por defecto es 50 para un número de variables menor o igual que 5, de lo contrario se asigna 200. Para problemas con enteros mixtos se calcula {min(max(10*nvars,40),100)}. Escalamiento de la función de aptitud u objetivo (FitScallingFcn): El escalamiento de la función idoneidad convierte los valores “crudos” que devuelve dicha función a valores que estén dentro de un rango que sea apropiado para la función de selección. Las diferentes formas de escalado son: 19  Rank: En este modo se le da un valor 1 al individuo con mejor puntaje, 2 al siguiente y así sucesivamente. Es la opción por defecto.  Proportional: Con este escalado se le proporciona un valor a cada individuo proporcional al puntaje del mismo.  Top: Se realiza un escalamiento de los mejores individuos de forma igualitaria. Además, se puede ingresar la cantidad de individuos que serán escalados con el mejor valor, el cual se puede expresar como un valor entero positivo que va desde 1 hasta el tamaño de la población (quantity) o un número decimal entre 0 y 1 que representa el porciento de estos individuos respecto al tamaño de población. El valor por defecto es 0.4 (40 %).  Shift linear: El escalamiento de los valores crudos se produce de manera tal que la expectativa de supervivencia de los mejores individuos s igual a una constante multiplicada por el puntaje promedio de la población. El valor de esta constante puede ser especificado y por defecto se toma 2.  Custom: Definida por el usuario Fracción de cruzamiento (CrossoverFraction): Especifica la fracción de individuos de la siguiente generación que serán creados mediante la función de cruce. La función de mutación creará el resto. El valor varía entre 0 y 1. Elitismo (EliteCount): Especifica el número de individuos que sobrevivirán para la siguiente generación. Este valor es un entero positivo menor o igual que el tamaño de la población. El valor por defecto es 2. Las demás funciones y parámetros no se explican porque el usuario no tiene la opción de variarlas debido a que en el trabajo con variables enteras (discretas) solo se puede trabajar con un parámetro o valor específico. 1.5.5 Enjambre de partículas: Son técnicas meta-heurísticas inspiradas en el comportamiento social del vuelo de las bandadas de aves o el movimiento de los bancos de peces. Se fundamenta en los factores que influyen en la toma de decisión de un agente que forma parte de un conjunto de agentes similares. La toma de decisión por parte de cada agente se realiza conforme a una componente social y una 20 componente individual, mediante las que se determina el movimiento (dirección) de este agente para alcanzar una nueva posición en el espacio de soluciones. Simulando este modelo de comportamiento se obtiene un método para resolver problemas de optimización (Nieto, 2006). Fig. 1.2: Movimiento de las partículas en PSO (Sancho, 2016) Este método trabaja con una población (llamada nube o enjambre) de soluciones candidatas (llamadas partículas). Dichas partículas se desplazan a lo largo del espacio de búsqueda conforme unas simples reglas matemáticas. El movimiento de cada partícula depende de su mejor posición obtenida, así como de la mejor posición global hallada en todo el espacio de búsqueda. A medida que se descubren nuevas y mejores posiciones, éstas pasan a orientar los movimientos de las partículas. El proceso se repite con el objetivo, no garantizado, de hallar en algún momento una solución lo suficientemente satisfactoria. Además, es un sistema multiagente, es decir, las partículas son agentes simples que se mueven por el espacio de búsqueda y que guardan (y posiblemente comunican) la mejor solución que han encontrado. (Nieto, 2006). Los pasos fundamentales que sigue el algoritmo en MATLAB son los siguientes: 1. El algoritmo de enjambre de partículas comienza creando las partículas iniciales y asignándoles velocidades iniciales. 2. Evalúa la función objetivo en cada ubicación de partícula y determina el mejor (más bajo) valor de función y la mejor ubicación. 21 3. Elige nuevas velocidades, basadas en la velocidad actual, las mejores ubicaciones individuales de las partículas y las mejores ubicaciones de sus vecinos. 4. Luego actualiza iterativamente las ubicaciones de las partículas (la nueva ubicación es la anterior más la velocidad, modificada para mantener las partículas dentro de los límites), las velocidades y los vecinos. 5. Las iteraciones continúan hasta que el algoritmo alcanza un criterio de detención. Detalles de los pasos: Por defecto, particle swarm (enjambre de partículas) crea partículas al azar uniformemente distribuidas dentro de los límites. Si hay un componente ilimitado, particle swarm crea partículas con una distribución aleatoria uniforme de -1000 a 1000. Si solo se tiene un límite, las partículas cambian la creación para tener el límite como un punto final, y un intervalo de creación de 2000 de ancho. La partícula i tiene la posición x (i), que es un vector de fila con n vars (número de variables) elementos. Se puede controlar el tramo inicial del enjambre usando la opción Initial Swarm Span (Extensión del enjambre inicial). De manera similar, particle swarm crea velocidades iniciales de partículas v uniformemente dentro del rango [-r, r], donde r es el vector de los rangos iniciales. El rango del componente i es el ub (i) - lb (i), pero para los componentes ilimitados o semi-limitados, el rango viene dado por la opción Initial Swarm Span. Particle swarm evalúa la función objetivo en todas las partículas. Registra la posición actual p (i) de cada partícula i. En iteraciones posteriores, p (i) será la ubicación del mejor valor de la mejor función objetivo que la partícula i haya encontrado, b es la mejor de todas las partículas: b = min (fun (p (i))),d es la ubicación tal que b = fun (d). Particle swarm inicializa el tamaño del vecindario N en min Neighborhood Size = max (1, floor (Swarm Size * min Fraction Neighbors)). Las partículas se inicializan inicializando la inercia W = max (InertiaRange), o si InertiaRange es negativo, establece W = min (Inertia Range). La partícula se inicializa el contador de puesto c = 0. 22 Para comodidad de la notación, se puede configurar la variable y1 = Self Adjustment, y y2 = Social Adjustment, donde Self Adjustment y Social Adjustment son opciones. Pasos de iteración: El algoritmo actualiza el enjambre de la siguiente manera. Para la partícula i, que está en la posición x (i): 1. Se elige un subconjunto aleatorio S de N partículas distintas de i. 2. Se encuentra fbest (S), la mejor función objetivo entre los vecinos, y g (S), la posición del vecino con el mejor valor de la función objetivo. 3. Para u1 y u2 uniformemente (0,1) vectores aleatorios distribuidos de nvars de longitud, se actualiza la velocidad de la siguiente manera: v = W*v + y1*u1.*(p-x) + y2*u2.*(g-x) Esta actualización usa una suma ponderada de: • La velocidad previa v • La diferencia entre la posición actual y la mejor posición que la partícula ha visto p-x • La diferencia entre la posición actual y la mejor posición en el vecindario actual g-x 4. Actualiza la posición x = x + v 5. Se hace cumplir los límites. Si cualquier componente de x está fuera de un límite, se establece igual a ese límite. 6. Se evalúa la función objetivo f = fun (x) 7. Si f 5, entonces se configura W = W / 2 e. Se asegura de que W esté dentro de los límites de la opción Inertia Range Si flag = false: f. Se establece c = c + 1 Se establece N = min (N + min Neighborhood Size, Swarm Size) Los parámetros que el usuario puede variar en la herramienta son: Tamaño del enjambre (Swarm Size): Número de partículas en el enjambre, un entero mayor que 1. Este parámetro está relacionado directamente con el número de variables y define directamente cuán exhaustiva será la búsqueda por el espacio de soluciones. (Min Fraction Neighbors): Tamaño mínimo de vecindad adaptable, un escalar de 0 a 1. (Self Adjustment): Ponderación de la mejor posición de cada partícula al ajustar la velocidad. Escalar finito. (Social Adjustment): Ponderación de la mejor posición del vecindario al ajustar la velocidad. Escalar finito. Fig. 1.3: Interacción entre partículas en PSO (Sancho, 2016) La fuerza con que las partículas son empujadas en cada una de estas direcciones depende de dos parámetros que pueden ajustarse (atracción al 24 mejor personal y atracción al mejor global), de forma que a medida que las partículas se alejan de estas localizaciones mejores, la fuerza de atracción es mayor. También se suele incluir un factor aleatorio que influye en cómo las partículas son empujadas hacia estas localizaciones. 1.6 Empleo de la computación para resolver problemas de optimización estructural: La disponibilidad de ordenadores de elevada potencia de cálculo y bajo coste, junto con el desarrollo de técnicas basadas en la inteligencia artificial, así como el desarrollo de potentes softwares ha permitido que en las últimas décadas haya crecido de forma importante el diseño de estructuras óptimas. Muchos de estos programas que contienen en su paquete algunas de las técnicas más avanzadas de optimización se han convertido para los ingenieros en herramientas imprescindibles de su ambiente de trabajo, a continuación, se referencian algunas de estas potentes herramientas: 1.6.1 MATLAB: Es un entorno de cálculo técnico de altas prestaciones para cálculo numérico y visualización que integra el análisis numérico, cálculo matricial, procesamiento de señales y gráficos; en un entorno fácil de usar, donde los problemas y las soluciones son expresados como se escriben matemáticamente, sin la programación tradicional. El nombre MATLAB proviene de ``MATrix LABoratory'' (Laboratorio de Matrices). MATLAB fue escrito originalmente para proporcionar un acceso sencillo al software matricial desarrollado por los proyectos LINPACK y EISPACK, que juntos representan lo más avanzado en programas de cálculo matricial. Es un sistema interactivo cuyo elemento básico de datos es una matriz que no requiere dimensionamiento. Esto permite resolver muchos problemas numéricos en una fracción del tiempo que llevaría hacerlo en lenguajes como C, BASIC o FORTRAN. En entornos universitarios se ha convertido en la herramienta de enseñanza estándar para cursos de introducción en álgebra lineal aplicada, así como cursos avanzados en otras áreas. En la industria, MATLAB se utiliza para investigación y para resolver problemas prácticos de ingeniería y matemáticas, con un gran énfasis en aplicaciones de control y procesamiento de señales. MATLAB también proporciona una serie de soluciones específicas denominadas TOOLBOXES. 25 Estas son muy importantes para la mayoría de los usuarios de MATLAB y son conjuntos de funciones MATLAB que extienden el entorno MATLAB para resolver clases particulares de problemas como:  Procesamiento de señales  Diseño de sistemas de control  Simulación de sistemas dinámicos  Identificación de sistemas  Redes neuronales y otros. Probablemente la característica más importante de MATLAB es su capacidad de crecimiento. Esto permite convertir al usuario en un autor contribuyente, creando sus propias aplicaciones. En resumen, las prestaciones más importantes de MATLAB son:  Escritura del programa en lenguaje matemático.  Implementación de las matrices como elemento básico del lenguaje, lo que permite una gran reducción del código, al no necesitar implementar el cálculo matricial.  Implementación de aritmética compleja.  Un gran contenido de órdenes específicas, agrupadas en TOOLBOXES.  Posibilidad de ampliar y adaptar el lenguaje, mediante ficheros de script y funciones. 1.6.1.1 Toolbox de optimización global del MATLAB: Global Optimization Toolbox proporciona funciones que buscan soluciones globales a problemas que contienen múltiples máximos o mínimos. Su caja de herramientas incluye búsqueda global, multistart, búsqueda de patrones, algoritmo genético, algoritmo genético multiobjetivo, recocido simulado y solucionadores de enjambres de partículas. Puede utilizar estos solucionadores para resolver problemas de optimización donde el objetivo o la función de restricción es continua, discontinua, estocástica, no posee derivados, o incluye simulaciones o funciones de caja negra. 26 Puede mejorar la efectividad del solucionador configurando opciones y personalizando las funciones de creación, actualización y búsqueda. Puede usar tipos de datos personalizados con el algoritmo genético y solucionadores de recocido simulados para representar problemas que no se expresan fácilmente con tipos de datos estándar. La opción de función híbrida le permite mejorar una solución aplicando un segundo solucionador después del primero. Este incluye la aplicación de optimización donde puedes encontrarlo junto con el resto de las aplicaciones para sus productos instalados, haciendo clic en la pestaña Aplicaciones en MATLAB Toolstrip. La aplicación de optimización simplifica las tareas de optimización comunes. Le permite:  Seleccione un solucionador y defina un problema de optimización  Establezca e inspeccione las opciones de optimización y sus valores predeterminados para el solucionador seleccionado  Ejecutar problemas y visualizar resultados intermedios y finales  Vea la documentación específica del solucionador en la ventana de referencia rápida opcional  Importar y exportar definiciones de problemas, opciones de algoritmos y resultados entre el espacio de trabajo MATLAB® y la aplicación de optimización  Genere automáticamente código MATLAB para capturar trabajo y automatizar tareas Las aplicaciones son programas interactivos de MATLAB que puede usar sin escribir ningún código. La mayoría de las cajas de herramientas vienen con aplicaciones, y puedes descargar más gratis desde MATLAB File Exchange. También puede empaquetar y compartir sus propias aplicaciones. 1.6.2 SAP 2000: Es un programa comercial de cálculo de estructuras basado en el Método de los Elementos Finitos (MEF). El origen de su nombre viene de sus siglas en inglés de Structural Analysis Program (Programa de Análisis Estructural). El SAP2000 es un programa de elementos finitos, con interfaz gráfico 3D 27 orientado a objetos, preparado para realizar, de forma totalmente integrada, la modelación, análisis y dimensionamiento del más amplio conjunto de problemas de ingeniería de estructuras. Conocido por la flexibilidad en al tipo de estructuras que permite analizar, por su poder de cálculo y por la fiabilidad de los resultados, SAP2000 es la herramienta de trabajo diaria para varios ingenieros. La versatilidad en modelar estructuras, permite su utilización en el dimensionamiento de puentes, edificios, estadios, presas, estructuras industriales, estructuras marítimas y todo tipo de infraestructura que necesite ser analizada y dimensionada. Las diversas herramientas de análisis y los procesos desarrollados en SAP2000 permiten realizar varias operaciones como:  Análisis lineal  Análisis dinámico por espectros de respuesta  Cargas Móviles  Análisis en el dominio de la frecuencia.  Elementos de barra, shell (cáscara) y sólido.  Dimensionamiento de hormigón, verificación de estructuras metálicas y dimensionamiento de armadura para elementos Shell.  Módulo de pretensado, totalmente integrado, para introducción de los cables de pretensado conectados a todo tipo de elemento y cálculo automático de pérdidas instantáneas.  Posibilidad de considerar los efectos geométricamente no lineales de PDelta (Es un análisis no lineal que toma en cuenta la deformación inicial de una estructura al someterla a las cargas consideradas. Al sufrir deformaciones, las fuerzas originales actuando sobre la estructura deformada genera excentricidades y por lo tanto momentos y torsiones adicionales) en cargas estáticas y dinámicas.  Generación automática de mallas de elementos finitos, con elementos de 4 nudos. 1.6.3 Application Programming Interface (API): 28 Permite a los ingenieros y programadores comprobar la eficacia de los productos CSI. A través de conocimientos básicos de programación, es posible crear pre y posprocesadores para diferentes aplicaciones, plugins, u otras herramientas que permiten conectar con el software CSI, permitiendo a los usuarios personalizar un conjunto de herramientas adicionales, además de las existentes en los programas. API es compatible con la mayoría de los lenguajes de programación, incluyendo Visual Basic for Applications (VBA), VB.NET, C #, C ++, Visual Fortran, Python y MATLAB. Los programadores que desarrollan software para modelado 3D, pueden utilizar API para complementar sus softwares con las funcionalidades de análisis y dimensionamiento de estructuras con los programas CSI. Es posible crear plugins que puedan establecer la conexión bidireccional entre las aplicaciones externas y el software CSI, permitiendo la transferencia precisa de información entre modelos. API ofrece el acceso directo, rápido y eficiente a todos los métodos numéricos avanzados implementados en los programas CSI. Además, se garantiza la compatibilidad entre las aplicaciones desarrolladas a través de API con las versiones futuras del software CSI. Los ingenieros pueden utilizar API para crear sus propias herramientas de automatización e integración con el software CSI. Estas herramientas pueden automatizar tareas repetitivas, eliminando los errores por parte del usuario y aumentando la eficacia del trabajo. Es posible utilizar API de CSI para conectar cualquier herramienta ya existente con los programas SAP2000, ETABS y CSiBridge, principalmente hojas de cálculo o aplicaciones más complejas. Todas las funciones de API están documentadas detalladamente a través de una extensa biblioteca donde se puede buscar cualquier asunto. Esta biblioteca contiene informaciones sobre numerosas funciones de API, con la descripción de la sintaxis y parámetros, alteraciones realizadas a la función, y ejemplos sencillos que muestran su utilidad y aplicación práctica. 29 1.7 Conclusiones parciales del capítulo: 1) La historia de la optimización ha estado marcada por grandes aportes en distintos tiempos, viéndose como una novedad, que condujo a la aparición de nuevas técnicas y tendencias investigativas, aunque en muchos estudios se ignoran factores extremadamente importantes como la interacción suelo- estructura. 2) El desarrollo de la optimización tanto en Cuba como en la UCLV ha ido evolucionando llegándose a criterios cada vez más económicos y aplicando herramientas más sofisticadas que contribuyen al logro de resultados más exactos en un menor tiempo. 3) La formulación del problema de optimización estructural es el paso más importante en el proceso de optimización. En esta se definen: la(s) función(es) objetivo(s), las variables, las restricciones y los parámetros asignados. Una correcta formulación matemática es esencial para obtener buenos resultados. 4) El SAP2000 y el MATLAB tienen las herramientas necesarias, utilizando la API, para resolver el problema de diseño óptimo de estructuras mediante un algoritmo de programación que será diseñado en capítulos posteriores. 30 CAPÍTULO 2. Formulación del problema de optimización de conjuntos estructurales. 2.1 Introducción Las estructuras deben ser diseñadas y construidas para que puedan resistir las cargas que sobre ellas sean aplicadas y la agresividad del terreno en el que se encuentra tanto en la etapa de construcción como de explotación siempre con un rango de seguridad aceptable. Conociendo el estado de las cargas se es capaz de emplear un criterio de optimización adecuado al tipo de elemento estructural, ya sea una viga, una columna, etc., logrando satisfacer todas las exigencias: configuración, deformación, estabilidad, economía, durabilidad, seguridad. Ya se ha reiterado que la verdadera optimización no es la del elemento individual, si no aquella donde el costo total de la estructura sea mínimo. No necesariamente el costo mínimo de una estructura se logra teniendo todas las variables que influyen en su costo mínimo individual, incluso pudieran no estar ni en sus rango económicos individuales. (Negrin M., 2014) Para demostrar estos aspectos en este capítulo se presentarán una serie de ejemplos de problemas de optimización de conjuntos estructurales, incluyendo el costo de cimentación en la función objetivo. 2.2 Selección del criterio de optimización. En el capítulo anterior se mencionaron varios criterios de optimización, pero en este caso se realizará una optimización mono objetivo empleando el criterio más utilizado: coste mínimo de la estructura. Tomando esto como base se pretende encontrar la combinación de las variables de diseño que, cumpliendo con todas las restricciones y con todos los estados límites, determinen el diseño estructural de mínimo costo total. Criterios como seguridad, facilidad constructiva y aspectos medioambientales se tendrán en cuenta en futuras investigaciones para obtener estructuras más seguras y acordes a las exigencias de este nuevo mundo. 2.3 Elección de los parámetros asignados. Los parámetros asignados son aquellos que no varían durante el proceso de optimización, por lo que algunos pueden ser parámetros asignados en un proceso y en otros no, si se decide incluirlos como variables (ej.: resistencia a 31 compresión del hormigón (f´c)). Por otra parte, las dimensiones de la estructura son parámetros asignados, pero varían de un proceso a otro, en dependencia del tipo y características de la estructura a optimizar. Algunos de los más importantes son: 1. Altura de columnas:3.5 y 4m 2. Luz: 5, 6,7 y 8m 3. Intercolumnios: 4, 5 y 6m 4. Tipos de cargas:  Carga permanente de cubierta - Losa Spiroll de 150 mm - Membranas impermeables la última con autoprotección mineral  Carga permanente de entrepiso - Losa Spiroll de 150 mm - Capa de mortero de Cemento Portland 2.5cm:γmort=20 kN/m3 - Losa cerámica: 0.20kN/m2/cm  Carga temporal de cubierta - Desagüe libre y accesible solo para mantenimiento: 0.8 kN/m2  Carga temporal de entrepiso - Oficinas: 2.0 kN/m2 - Salon de reuniones: 4.0 kN/m2  Carga de viento para las condiciones del centro del país y un sitio expuesto 5. Tipología de los elementos: columnas y vigas rectangulares, cimentaciones superficiales aisladas. 6. Condiciones de apoyo: Se tendrá en cuenta la ISE por lo que se modelarán los apoyos teniendo en cuenta la hipótesis de Winkler (sobre apoyos elásticos). 7. Tipo de encofrado: Metálico 8. Forma de fabricación: in situ 9. Resistencia a compresión del hormigón: f´c=20Mpa a 35Mpa (puede ser variable o parámetro asignado) 10. Resistencia del acero principal: fy = 300MPa (puede ser variable o parámetro asignado) 32 11. Resistencia del acero de los cercos: fy = 300MPa (puede ser variable o parámetro asignado) 12. Diámetro de los cercos: 10mm 13. Recubrimiento: recub= 3.5cm (agresividad media) 14. Elaboración y colocación de las armaduras: manual 15. Elaboración del hormigón: hecho en planta 16. Colocación del hormigón: con bomba 17. Excavación para las cimentaciones: Mecanizada 18. Rehínchos: Mecanizados 2.4 Definición de la función objetivo. La función objetivo depende del criterio de optimización que se vaya a utilizar, en este caso el costo mínimo total, por lo que la función objetivo define la función mediante la cual se calcula el costo total de la estructura. En este trabajo se formulará la función objetivo teniendo en cuenta casi todas las actividades realizadas en la ejecución de una obra. Para ello se utilizó el (PRECONS.II, 2008), obteniendo los costos por renglones variantes. La función objetivo para este problema es, la suma total de todos los costos relacionados con las vigas, columnas y cimentación. Debido a su extensión se pondrán los costos separados por elementos estructurales, quedando de la siguiente forma: cimcolvigastotal CCCC  (2.1) Dónde: totalC : Costo total ($). vigasC : Suma de los costos de las vigas ($). colC : Suma de los costos de las columnas ($). cimC : Suma de los costos de las cimentaciones ($). 2.4.1 Costo de la viga. 33 CchvigCehvigCcebvCebvCcecvCecvCevCvigas  (2.2) Dónde: Cev : Costo de encofrados de las vigas ($). Cecv : Costo de elaboración de cercos para las vigas ($). Ccecv : Costo de ensamblaje y colocación de cercos en las vigas ($). Cebv: Costo de elaboración de barras de refuerzo en vigas ($). Ccebv : Costo de ensamblaje y colocación de barras de refuerzo en vigas ($). Cehvig : Costo de elaboración de hormigón para las vigas ($). Cchvig : Costo de colocación de hormigón en las vigas ($). El costo de encofrado para una viga se determina: Cuev*L*b)+h*(2=Cev (2.3) Dónde: b,h : Dimensiones de la sección transversal de una viga (m). L : Luz de la viga (m). Cuev : Costo unitario del encofrado para vigas, que depende del tipo de encofrado, de la luz y dimensiones de la sección del elemento ($/m2). El costo de elaboración de cercos para una viga se obtiene: Cuecv*pcerc*ncercv*lcercv=Cecv (2.4) Dónde: lcercv: Longitud del cerco, que depende de las dimensiones de la sección de la viga (m). 0.2+0.10)-(b*2+0.10)-(h*2=lcercv (2.5) ncercv : Cantidad de cercos, que depende de la distribución del refuerzo a cortante. 34 A2pc\Atotalcvncercv (2.6) Atotalcv: Área total de refuerzo a cortante de una viga. A2pc : Área de dos patas de cerco. Cuecv: Costo unitario de elaboración de cercos para vigas que dependen del diámetro del cerco ($/t). El costo de ensamblaje y colocación de los cercos para una viga se obtiene: Cueccv*pcerc*ncercv*lcercv=Ceccv (2.7) Dónde: Cueccv : Costo unitario de ensamblaje y colocación de cercos en vigas, que depende del diámetro del cerco ($/t). El costo de elaboración de barras de refuerzo en vigas se determina: Cuebrv*densac*Vav=Cebrv (2.8) Dónde: Vav : Volumen total de acero en vigas (m3). Cuebrv : Costo unitario de elaboración de barras de acero longitudinales en vigas($/t). El costo de ensamblaje y colocación de barras longitudinales en una viga se obtiene: Cucebrv*densac*Vav=Cecbrv (2.9) Dónde: Cucebrv: Costo unitario de colocación y ensamblaje de barras longitudinales en vigas, que depende del diámetro de las barras ($/t). El costo de elaboración de hormigón para una viga se determina: Cuehv*L*b*h=Cehv (2.10) Dónde: 35 Cuehv : Costo unitario de elaboración de hormigón para la viga ($/m3). El costo de colocación de hormigón en una viga se obtiene: Cuchv*L*b*h=Cchv (2.11) Dónde: Cuchv : Costo unitario de colocación de hormigón, que depende de la tecnología empleada y la altura a la que se encuentra la viga ($/m3). Señalar que en el cálculo total de cada uno de los costos se escoge el elemento más crítico de cada grupo (que en fin de cuentas todos los otros elementos del grupo tendrán esas dimensiones) y se multiplica por el número de elementos y luego se suman para obtener el costo total de la construcción de las vigas. 2.4.2 Costo de las columnas. CchcCehcCecbrcCebrcCecccCeccCenccCcol  (2.12) Dónde: Cencc : Costo de encofrado de las columnas ($). Cecc : Costo de elaboración de cercos para las columnas ($). Ceccc : Costo de ensamblaje y colocación de cercos en las columnas ($). Cebrc: Costo de elaboración de barras de refuerzo en columnas ($). Cecbrc: Costo de ensamblaje y colocación de barras de refuerzo en columnas ($). Cehc: Costo de elaboración de hormigón para las columnas ($). Cchc : Costo de colocación de hormigón en las columnas ($). El costo del encofrado en una columna se obtiene:    CuenccHyxCencc  *2*2 (2.13) Dónde: H : Altura de la columna (m). 36 x : Dimensión de la columna en dirección de x (m). y : Dimensión de la columna en dirección de y (m). Cuencc : Costo unitario del encofrado para columnas, que depende del tipo de encofrado, de la altura y las dimensiones de la sección del elemento ($/m2). El costo de elaboración de cercos para una columna se obtiene: Cuec*pcerc*(ncercc)*lcercc=Cecc (2.14) Donde: lcercc: Longitud de un cerco, que depende de las dimensiones de la sección de las columnas (m). 0.2+0.1)-(y*20.1)-(x*2=lcercc  (2.15) ncercc : Cantidad de cercos para una columna, que depende de la altura y el ancho de esta. 1 @cercc ncercc  H (2.16) pcerc : Peso lineal del acero para cercos (t/m). Cuec : Costo unitario de elaboración de cercos ($/t). @cercc : Espaciamiento de cercos que es el menor de los siguientes valores: - 12db (Acero principal) - 48db (Estribos) - Lado menor de la columna - 40 cm El costo de colocación y ensamblaje para los cercos de una columna se determina: Cucec*pcerc*(ncercc)*lcercc=Ceccc (2.17) Dónde: Cucec : Costo unitario de colocación y ensamblaje de cercos ($/t). 37 El costo de elaboración de barras de refuerzo en una columna se determina: Cuebrc*densac*Vac=Cebrc (2.18) Donde: Vac : Volumen total de acero para la columna (m3). densac : Densidad del acero (t/m3). Cuebrc : Costo unitario de elaboración de barras de acero, que depende del diámetro de las barras ($/t). El costo de ensamblaje y colocación de barras de refuerzo en una columna se obtiene: Cucebrc*densac*y)+(x=Cecbrc (2.19) Donde: Cucebrc: Costo unitario de colocación y ensamblaje de barras longitudinales en columnas, que depende del diámetro de las barras ($/t). El costo de elaboración de hormigón para una columna se determina: Cuehc*H*y*x=Cehc (2.20) Donde: Cuehc : Costo unitario de elaboración de hormigón, que depende de la tecnología empleada y la altura de la columna ($/m3). El costo de colocación de hormigón en columnas se obtiene: Cuehc*H*y*x=Cchc (2.21) Donde: Cuchc : Costo unitario de colocación de hormigón, que depende de la tecnología empleada y la altura de la columna ($/m3). Al igual que en las vigas se calcula el costo del elemento más crítico del grupo multiplica por el número de elementos de dicho grupo y luego se suman todos los costos. 38 2.4.3 Costo de los cimientos. CrCchppCehppCencpCcebppCebppCcecpCecpCexcCcim  (2.22) Dónde: Cexc : Costo de la excavación ($). Cecp : Costo de elaboración de los cercos del pedestal ($). Ccecp : Costo de colocación y ensamblaje de los cercos del pedestal ($). Cebpp : Costo de elaboración de barras del plato y pedestal ($). Ccebpp : Costo de colocación y ensamblaje de barras del plato y pedestal ($). Cencp : Costo de encofrado del plato. ($). Cehpp : Costo de elaboración de hormigón del plato y pedestal ($). Cchpp : Costo de colocación del hormigón del plato y pedestal ($). Cr : Costo del rehincho ($). El costo de la excavación se obtiene por la siguiente expresión: CuexcHcLBCexc  (2.23) Dónde: LB, : Dimensiones de la base de la cimentación (m). Hc : Profundidad de cimentación (m). Cuexc : Costo unitario de la excavación, que depende del tipo de suelo, el área de la sección, la profundidad y la tecnología utilizada ($/m3). El costo de elaboración de los cercos del pedestal se obtiene: CuecpcercncerplcerpCecp  (2.24) Dónde: lcerp : Longitud de un cerco, que depende de las dimensiones del pedestal (m). 39 ncer : Cantidad de cercos, que depende de la altura y el ancho del pedestal. pcerc : Peso por metro lineal de las barras de acero, que depende del diámetro (Kg/m). Cuec: Costo unitario de elaboración de cercos, que depende del tipo de cerco, y del peso de los mismos ($/ton). El costo de colocación y ensamblaje de los cercos del pedestal se obtiene: CucecpcercncerplcerpCcecp  (2.25) Dónde: Cucec : Costo unitario de colocación y ensamblaje de cercos, que depende del tipo de cerco, de su peso y del elemento estructural a colocar ($/ton). El costo de elaboración de barras del plato y pedestal se determina: CuebpbnbplbpnbLlbLnbBlbBCebpp  )( (2.26) Dónde: lbB: Longitud de la barra de refuerzo del plato en dirección a B (m). nbB: Cantidad de barras en dirección a B. lbL : Longitud de la barra de refuerzo del plato en dirección a L (m). nbL : Cantidad de barras en dirección a L. lbp : Longitud de barra de refuerzo del pedestal, incluye longitud de anclaje y acero de espera (m). nbp : Cantidad de barras del pedestal. pb : Peso por metro lineal de las barras de acero, que depende del diámetro (Kg/m). Cueb : Costo unitario de elaboración de barras de refuerzo, que depende del tipo de barra y del peso de las mismas ($/ton). El costo de colocación y ensamblaje de barras del plato y pedestal se determina: 40 CucebcpbnbplbpnbLlbLnbBlbBCcebpp  )( (2.27) Dónde: Cucebc : Costo unitario de colocación y ensamblaje de barras de refuerzo, que depende del diámetro de las barras y del tipo de cimentación ($/ton). El costo de encofrado del plato se obtiene por la expresión: CuencphpBLCencp  ))(2( (2.28) Dónde: Cuencc : Costo unitario del encofrado de platos en cimientos, que depende del tipo de encofrado, y las dimensiones de la sección del elemento ($/m2). El costo de elaboración de hormigón del plato y pedestal se obtiene por la expresión: CuehhpedlcbchpLBCehpp  )( (2.29) Dónde: hp : Peralto del plato. lcbc, : Dimensiones de la sección del pedestal. hped : Altura del pedestal (m). Cueh : Costo unitario de elaboración de hormigón, que depende de su resistencia y la tecnología de elaboración ($/m3). El costo de colocación del hormigón del plato y pedestal se determina: CuchchpedlcbchpLBCchpp  )( (2.30) Dónde: Cuchc : Costo unitario de colocación del hormigón, que depende de la tecnología empleada y del tipo cimentación a hormigonar ($/m3). El costo del rehincho se obtiene de la siguiente forma:   CurhpedlcbchpLBHcLBCr  )( (2.31) 41 Dónde: Cur : Costo unitario de rehincho, que depende de la tecnología empleada, el tipo de relleno, el área y la profundidad a rellenar ($/m3). 2.5 Elección de las variables. Ya que los parámetros variables pueden cambiar sus valores durante el proceso de optimización, conocer cuál es el criterio de optimización seleccionado y que variables influyen en el mismo es la clave para la correcta selección de estas variables. Estas serán discretas ya que la optimización estructural demanda soluciones finales que sean factibles constructivamente, además de reducir notablemente el espacio de soluciones. La discretización se realizará en dependencia del tipo de variable. Estas se definirán en dependencia de la estructura a optimizar, pero generalmente se comenzarán con las dimensiones de las vigas para los diferentes grupos, después las dimensiones de las columnas, después la de los cimientos y por último los aspectos relacionados con los materiales. Un ejemplo puede ser: 1. Peralto de las vigas en dirección de x o p (1) 2. Ancho de las vigas en dirección de x o p (2) 3. Peralto de las vigas en dirección de y o p (4) 4. Ancho de las vigas en dirección de y o p (3) 5. Ancho de las columnas interiores en dirección de y o p (5) 6. Ancho de las columnas interiores en dirección de x o p (6) 7. Ancho de las columnas exteriores en dirección de y o p (7) 8. Ancho de las columnas exteriores en dirección de x o p (8) 9. Ancho de las columnas esquinas en dirección de y o p (9) 10. Ancho de las columnas esquinas en dirección de x o p (10) 11. Rectangularidad de los cimientos interiores o p (11) 12. Rectangularidad de los cimientos exteriores o p (12) 13. Rectangularidad de los cimientos esquina o p (13) 14. Resistencia específica a compresión del hormigón en vigas o p (14) 15. Resistencia específica a compresión del hormigón en columnas o p (15) 16. Resistencia específica a compresión del hormigón en cimientos o p (16) 42 2.6 Identificación de las restricciones. Una parte esencial dentro de la formulación matemática de todo proceso de optimización lo constituyen las restricciones que habrá que imponer al problema en correspondencia con las exigencias de costo mínimos. Se conoce que las variables de diseño dependen de las restricciones, lo que hace que se limite el libre movimiento de estas en el proceso de optimización. En nuestros problemas, como se ha explicó en el capítulo 1, las restricciones pueden ser de dos tipos fundamentales: implícitas o explícitas. (Negrín I., 2019) 2.6.1 Restricciones implícitas. Las restricciones implícitas son las que se introducen dentro del algoritmo de solución, estas están asociadas fundamentalmente al cumplimiento de las condiciones impuestas por el diseño (ecuaciones de estado) mediante los estados límites (resistencia, rigidez). Las condiciones de resistencia se cumplen al efectuar el diseño de los elementos en el propio SAP2000 (vigas y columnas), excepto para las cimentaciones, las cuáles se diseñaron geotécnica y estructuralmente mediante una rutina escrita en MATLAB. Las de rigidez (flecha, desplazamiento tope) se chequean mediante rutinas en dónde se penaliza la función objetivo, en caso de no cumplirse. 2.6.1.1 Ecuaciones de estado en las vigas. Como se ha mencionado, el diseño estructural de las vigas se realiza en el propio SAP2000v19, utilizando el código ACI 318-14, donde las ecuaciones de estado de forma general son:  Resistencia a flexión: MnMu  (2.32)  Resistencia a cortante: VnVu  (2.33) De aquí obtenemos el diseño a flexión y cortante de las vigas, obteniendo así el área de acero de refuerzo de cálculo en los extremos superiores y en el centro de la luz inferior, para después convertir esta área a real y obtener la distribución y el número de barras final. 43 2.6.1.2 Ecuaciones de estado en las columnas.  Resistencia: MnMu  (2.34) PnPu  (2.35)  Cuantía mínima: min  (2.36) Dónde: %1 ' min     db AsAs  No deben colocarse menos de 4 barras de 16mm.  Cuantía máxima: max  (2.37) Dónde: %8 ' max     db AsAs  2.6.1.3 Ecuaciones de estado en los cimientos. Diseño geotécnico  Chequeo del vuelco: 5.1   izantesdesestabilMomentos ntesestabilizaMomentos FSV (2.38)  Chequeo del deslizamiento: *´´75.0*** ClbtgNH   (2.39)  Capacidad de carga: *)´(´* qbrblQbr  (2.40)  Asentamientos: LimACA SS  (2.41) Diseño estructural: 44  Peralto por punzonamiento: pzpz R**  (2.42)  Peralto por cortante: sLbrL TT 1**  ,y sBbrB TT 1**  (2.43)  Peralto por flexión positiva: ** fisLL MM  ,y ** fisBB MM  (2.44)  Peralto por flexión negativa: LfisLneg MM * , y BfisBneg MM * (2.45)  Refuerzo inferior: ** resLL MM  Y ** resBB MM  (2.46)  Adherencia: d r hpn T * 9.0 *  (2.47)  Área mínima: minAA (2.48) Dónde: fy cBdf A L '04.0 min  , y fy cLdf A B '04.0 min  BhA L 002.0min  , y LhA B 002.0min  2.6.1.4 Chequeo de flechas en vigas. Para el cálculo y chequeo de flechas en vigas se utiliza un método simplificado que consta de cinco pasos detallados a continuación: 1. Cálculo de la cuantía geométrica de acero a compresión en el centro de la luz del elemento 𝜌𝑐𝑜𝑚𝑝. 2. Cálculo de coeficiente de ampliación de la flecha para flechas diferidas: λ= 2/(1 + 50 ∗ 𝜌𝑐𝑜𝑚𝑝)(2.49) 3. Cálculo de la flecha temporal en el centro de la luz: 45 ∆𝑡𝑒𝑚𝑝𝐶𝐿= ∆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝐶𝐿 𝑀𝐶𝐿_𝐶𝑈∗𝑀𝐶𝐿_𝐶𝑆 (2.50) Dónde: ∆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝐶𝐿: Flecha total en el centro de la luz debido a cargas de servicio extraída del SAP2000 𝑀𝐶𝐿_𝐶𝑈: Momento en el centro de la luz debido a la carga de uso 𝑀𝐶𝐿_𝐶𝑆: Momento en el centro de la luz debido a cargas de servicio 4. Cálculo de la flecha instantánea en el centro de la luz debido a las cargas de uso de larga duración: ∆𝑖𝑛𝑠𝑡_𝐶𝐿_𝐶𝑈𝐿𝐷= ∆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝐶𝐿 − ∆𝑡𝑒𝑚𝑝𝐶𝐿(2.51) 5. Cálculo de la flecha total: ∆𝑡𝑜𝑡= ∆𝑡𝑒𝑚𝑝𝐶𝐿 + λ ∗ ∆𝑖𝑛𝑠𝑡_𝐶𝐿_𝐶𝑈𝐿𝐷(2.52) Luego la flecha total calculada es comparada con la admisible (L/180) y si no se cumple el criterio se penaliza la función objetivo. 2.6.1.5 Chequeo de desplazamiento tope. Para el caso del desplazamiento tope se escoge el punto más crítico en cada una de las dos direcciones y se comprueba, para la combinación más pésima con cargas de servicio (CP+CV) si el desplazamiento es mayor que el permisible (H/500~400), donde: CP: Carga permanente CV: Carga de viento en la dirección deseada H: Altura total del edificio Como se ha mencionado, este procedimiento es una rutina programada en MATLAB, y en caso de no cumplirse el criterio, se penaliza la función objetivo. 2.6.1.6 Otras restricciones. Dentro del algoritmo se establecerán otras restricciones de carácter constructivo (recomendaciones de diseño), las cuales se cumplirán y si no se 46 toma el valor límite mínimo o máximo (en dependencia del tipo de restricción). Estas son:  El espaciamiento de los cercos de las columnas y el pedestal no será mayor de: - 16Ф del acero principal. - 48Ф del cerco. - b.  En zonas donde no se requiera acero por cálculo el espaciamiento no será mayor de: - 0.5d. - 60cm.  El espaciamiento mínimo de los cercos será: 10cm.  Para la colocación de las barras longitudinales en vigas no se admitirán más de dos camadas.  El corte de barras en las vigas se realizará: - 2/3L para el acero positivo, llegando dos barras a los apoyos. - 1/3L para el acero negativo, llegando dos barras al centro de la luz.  La longitud de anclaje se tomará como 12d. 2.6.2 Restricciones explicitas. Como se ha explicado, estas restricciones son fundamentalmente constructivas y limitan el intervalo de movimiento de las variables en el proceso de optimización, requisito obligatorio de los métodos utilizados en esta investigación. La nomenclatura de estas restricciones varía en dependencia del tipo y cantidad de variables que se tengan, por lo que se tomará un ejemplo que concuerda con el tomado en el epígrafe de las variables:  Los peraltos de las vigas tendrán los siguientes valores: 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80,85 y 90cm. Ej.:40 cm ≤ p(1)≤ 90 cm.  El ancho de las vigas podrá ser de: 30, 35, 40 y 45 cm. Ej.: 30 cm ≤ p(2)≤ 45 cm  Las dimensiones de las columnas tendrán los siguientes valores: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60cm. Ej.: (30 cm ≤ p(5)≤ 60 cm). 47  Las resistencias a compresión del hormigón serán: 20, 25, 30 y 35MPa. Ej.: (20 MPa ≤ p(14)≤ 35 MPa).  La rectangularidad de la base de la cimentación tendrá los valores siguientes: 0.50, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.00, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 y 2.00. 2.7 Herramienta DOCE La herramienta DOCE consiste en la programación del algoritmo de optimización estructural explicado en el epígrafe anterior y la construcción de una GUI que permita la interacción del usuario con dicho algoritmo. Esta GUI permite la introducción de la información necesaria por para adaptar al algoritmo el modelo que se desea optimizar, por lo cual se debe ir introduciendo de una manera ordenada y coherente con las características del modelo creado. La idea esencial del algoritmo de solución al problema del diseño óptimo de estructuras parte de la base de la construcción del modelo en uno de los programas de modelación, análisis y diseño estructural de la familia CSi, y, a través de la GUI brindar la información necesaria sobre el modelo al algoritmo de solución programado en MATLAB, en donde, uno de los métodos de optimización disponible es el encargado de “guiar” el proceso y ofrecer una solución competente en un tiempo relativamente corto. Cabe señalar que al crear el modelo se deben seguir una serie de recomendaciones (combinaciones de carga, orden de estas, inserción de nodos especiales, etc.) con el objetivo de lograr una compatibilidad perfecta entre el algoritmo y el modelo, garantizando así su correcto funcionamiento y resultados satisfactorios. 2.7.1 Interfaz Gráfica (GUI) de DOCE La GUI del programa DOCE se ha creado con un orden lógico para la introducción de la información, partiendo de una ventana principal (Anexo 1) y desde la cual de despliegan las ventanas secundarias donde se introduce la información. A continuación se explica brevemente el funcionamiento de esta. 2.7.2 Leer En Leer encontramos un documento con toda la información básica sobre DOCE, el cual debe ser consultado para comprender correctamente el funcionamiento del programa y garantizar una correcta interacción con él. 48 2.7.3 Modelo En Modelo se pueden restaurar todos los valores, o sea, reiniciar el proceso de introducción de la información. Además se establece el software de modelación, análisis y diseño empleado para la construcción del modelo, así como su nombre y ubicación. 2.7.4 Elemento/Grupos Este es un aspecto sumamente importante del proceso, ya que aquí se definen los dos tipos de grupos de elementos que definirán el dimensionamiento y diseño de estos. El primer tipo de grupos está asociado a las dimensiones de la sección transversal de estos y su agrupamiento por razones constructivas y estéticas fundamentalmente (Anexo 2). Un ejemplo puede ser en las vigas, dónde se desea diferenciar las secciones de las vigas en una dirección de las de la otra (en caso que exista diferencia notable entre las luces de estas), y se decide crear dos grupos: vigas en la dirección de “x” y vigas en la dirección de “y”; por otra parte, pudiera existir locales de similar geometría pero de usos diferentes, por lo que se someterán a diferentes solicitaciones (a pesar de geometría similar) y el usuario decide que los peraltos, por ejemplo, se deben diferenciar del resto de los elementos similares en cuanto a geometría, se pudieran crear dos grupos más: vigas en la dirección de “x” y en la dirección de “y” para el nivel 2, por lo que tenemos cuatro grupos de vigas asociados a la geometría, dónde el primero tendrá secciones transversales de p1xp2, el segundo de p3xp4, el tercero p5xp6 y el cuarto p7xp8. Por otra parte se deben crear el segundo tipo de grupo, asociados al diseño de los elementos (Anexo 3). Siguiendo con el ejemplo anterior, donde se decidió, por estética, que las vigas interiores y exteriores en una misma dirección tendrán la misma sección transversal (aun cuando estén sometidas a solicitaciones bastante diferentes), resulta demasiado conservador realizar un diseño común para estos elementos, por lo que se pueden dividir en otros grupos de diseño, aun cuando estén en el mismo grupo asociado a la geometría de su sección transversal; estos grupos no inciden en el número de variables del proceso, a diferencia de los primeros. Importante resaltar que estos grupos de elementos asociados al diseño deben ser conformado no solo por elementos con solicitaciones similares para realizar diseño mucho más 49 racionales, sino por los que tengan longitudes exactas o casi exactas, debido a la forma de trabajo del algoritmo, el cual realiza pasos como el corte y el despiezo que dependen fundamentalmente de las longitudes de los elementos y se hace extensivo el diseño más crítico hacia los otros elementos del grupo, por lo que si en el grupo la mayoría tiene una longitud de 6 m, por ejemplo, y existe uno de 7 m, existe grandes posibilidades de que el diseño del grupo quede condicionado por este y los resultados no sean satisfactorios. Además, en la ventana para la creación de grupos de cimentación, se definen los datos asociados a la cimentación (Anexo 4) 2.7.5 Materiales En este apartado se definen características de los materiales. En el hormigón se define si la resistencia a compresión (f´c) se optimizará o si se utilizará como parámetro asignado. En el primer caso se debe definir si se optimizará general o individual para cada tipo de elemento, en el segundo caso se debe introducir el valor para cada tipo de elemento. Las demás propiedades se introducirán al crear el material en el modelo. En el acero ocurre algo muy similar al hormigón ya que se puede optimizar el uso del tipo de acero o establecerlo como parámetro asignado. Además se debe establecer el límite de fluencia (fy) del refuerzo transversal y la disponibilidad de barras de refuerzo, para brindar soluciones reales (Anexo 5). Por otra parte se definen los parámetros asociados a las características del suelo para realizar el diseño geotécnico de las cimentaciones (Anexo 6). 2.7.6 Restricciones Un aspecto importante en el proceso de optimización son las restricciones, o sea, establecer limitaciones las cuales deben cumplirse para que la solución sea válida. En el caso de la optimización estructural podemos definir dos tipos de restricciones: Implícitas y Explícitas. Restricciones implícitas: Las restricciones implícitas son las que se encuentran dentro del problema de optimización estructural y están asociadas a criterios que se deben satisfacer con el diseño de la estructura, como resistencia, rigidez, constructivos, etc. 50 En el caso del algoritmo, las condiciones de resistencia se cumplen al realizar el diseño estructural mediante el software de modelación (cumplimiento de las ecuaciones de estado), por lo que se chequearán criterios de rigidez como flecha y desplazamiento tope, los cuales serán opcionales y se debe introducir en el o los grupos de elementos que se desea chequear (Anexo 7) y el o los nodos más críticos para el caso del desplazamiento tope. Restricciones explícitas: Las restricciones implícitas son aquellas que están asociadas directamente al proceso de optimización, y que, generalmente están relacionadas con recomendaciones de diseño y constructivas, por lo que en nuestro caso las limitamos al intervalo de movimiento de las variables, por eso es necesario introducir el valor mínimo y máximo de cada una de las dimensiones de los diferentes grupos de elementos, los cuales se transformarán en límites superior e inferior de generación de los valores variables. Aquí, se debe introducir además, el valor inicial que se le desea introducir a estas variables o los valores como parámetro asignado para realizar un diseño simple. (Anexo 8). 2.7.7 Optimización En esta parte se definen aspectos relacionados con los métodos de optimización disponibles: GA, PSO y SA. Una vez seleccionado el método de optimización a utilizar se deben establecer los parámetros de funcionamiento este, donde, encerrados en corchetes están los valores por defecto (Anexo 9). Para establecer una correcta selección de estos parámetros es necesario estudiarlos y seguir las recomendaciones explicada en los diferentes documentos adjuntos. 2.7.8 Costos En este apartado se definen los valores de costos directos para los diferentes elementos, en dependencia de los parámetros asignados que se definan (tipo de encofrado, calidad de los materiales, etc.) (Anexo 10). Estos valores son esenciales en la obtención del costo directo ya que se multiplican por los volúmenes de trabajo obtenidos. 51 2.7.9 Ayuda Aquí se entra directamente en el documento de ayuda de la herramienta, donde, organizados por secciones se explican todos los parámetros que se introducen. Además se brindan recomendaciones sobre que parámetros utilizar, incluso a la hora de crear el modelo, para garantizar una correspondencia absoluta entre este y el algoritmo. 2.7.10 Resultados Una vez concluido el proceso de optimización, los resultados se dividen en tres tipos: estructurales, de optimización y costos (Anexo 11) Dentro de los resultados estructurales se muestran el diseño final de cada uno de los grupos de los diferentes elementos (vigas, columnas y cimientos) En el anexo 13, se puede ver la manera en que se muestran los resultados del diseño de las vigas por grupo, donde se expone el diseño del refuerzo transversal y longitudinal, con sus respectivos cortes para visualizar la distribución del refuerzo, además del corte y el despiezo de barras y las propiedades de los materiales. Además se exponen de manera similar los resultados del diseño de las columnas y de los cimientos (Anexo 13) por grupos. Como se ha mencionado, existen otros resultados referidos al proceso de optimización, donde se expone gráficamente y numéricamente el comportamiento del proceso de optimización (Anexo 14). Finalmente se muestra la distribución de los costos directos por elementos y por renglones variantes para su análisis (Anexo 15). 2.7 Conclusiones parciales del capítulo. En este capítulo se ha realizado la formulación matemática del problema de optimización estructural, identificando la función objetivo, los parámetros asignados, las variables y sus restricciones. De aquí se han obtenido las siguientes conclusiones: 1) Se decidió el empleo de la optimización mono-objetivo, dada la cantidad de factores que debían