UNIVERSIDAD CENTRAL “MARTA ABREU” DE LAS VILLAS FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA DEPARTAMENTO ELECTROENERGÉTICA Trabajo de Diploma “Materiales complementarios y aplicación del Matlab y Simulink para la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con ayuda del Método de las Componentes Simétricas” Autor: Dáyner Rodríguez Manso Tutor: Dr. Avertano Hernández Stuart Tutor: MSc. Juan Curbelo Cancio Santa Clara, Cuba 2012 "Año 54 de la Revolución" 2 Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Circuitos Eléctricos TRABAJO DE DIPLOMA “Materiales complementarios y aplicación del Matlab y Simulink para la solución de ejercicios de circuitos eléctricos con ayuda del Método de las Componentes Simétricas” Autor: Dáyner Rodríguez Manso drmanso@uclv.edu.cu Tutor: Dr. Avertano Hernández Stuart avertanoh@uclv.edu.cu Tutor: MSc. Juan Curbelo Cancio jcurbelo@uclv.edu.cu Profesores de Circuitos Eléctricos de la facultad de Ingeniería Eléctrica Santa Clara 2012 “Año 54 de la Revolución” 3 Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingeniería Eléctrica, se autoriza a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad. Firma del Autor Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección del centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada. Firma del Tutor Firma del Jefe de Departamento donde se defiende el trabajo Firma del Responsable de Información Científico-Técnica 4 PENSAMIENTO “No se puede enseñar nada a un hombre... sólo se le puede ayudar a encontrar la respuesta dentro de sí mismo." (Galileo Galilei) 5 DEDICATORIA A todo aquel que influyó de alguna forma en la realización de este proyecto. 6 TAREA TÉCNICA Plan de Trabajo:  Revisión y estudio de la bibliografía y preparación metodológica existente acerca del análisis y solución de circuitos eléctricos con el empleo del Método de las Componentes Simétricas.  Actualizar los contenidos teóricos en textos básicos y materiales de estudio publicados en Internet.  Estudiar los contenidos fundamentales del lenguaje de programación Matlab y el empleo de su simulador Simulink, que permitan elevar los conocimientos del estudiante en el área de la programación y simulación.  Resolver, de forma analítica, ejercicios típicos, adecuadamente seleccionados, que ilustren de manera coherente el tratamiento de este tema en la asignatura Circuitos Eléctricos III. Llevar a cabo la solución de los mismos, total o parcialmente, mediante programas elaborados en Matlab y finalmente obtener la solución con la elaboración de modelos, a través del simulador Simulink.  Organizar adecuadamente la estructura de la tesis basándose en un diseño metodológico estratégico según la didáctica de la asignatura y las orientaciones y normas aprobadas por el MES. Firma del Autor Firma del Tutor 7 RESUMEN En este trabajo se ilustró una breve reseña histórica del surgimiento y desarrollo del método de las componentes simétricas y como de diferentes vías fue posible la solución de ejercicios con el beneficio de dicho procedimiento que forma parte importante de los circuitos y los sistemas eléctricos en general. Como base para su desarrollo se revisó una amplia bibliografía actualizada como libros de grandes autores del siglo pasado y de INTERNET. A lo largo del primer capítulo se mostró detalladamente en varios epígrafes la esencia teórica del método en cuestión donde tres fasores desbalanceados de un sistema trifásico se pueden descomponer en tres sistemas balanceados de fasores y se definieron las tres redes de secuencia. Así como también se precisó el uso del operador de fase y las propiedades de los circuitos con respecto a las componentes simétricas de las corrientes y los voltajes donde se constataron las características de las diferentes formas de conexión en que pueden encontrarse los circuitos y las expresiones fundamentales que se usaron para la solución de los ejercicios. Además se establecieron los principios para el cálculo de las componentes simétricas de corriente y voltaje en cargas trifásicas balanceadas en paralelo. Dada la complejidad y uso en la práctica de esta vía de solución, los ejemplos se resolvieron analíticamente con ayuda del software MATLAB y luego se simularon mediante SIMULINK donde se compararon los resultados obtenidos por cada una de las vías y se observó la correcta correspondencia de las respuestas. 8 ÍNDICE Pensamiento......................................................................................................................4 Dedicatoria.........................................................................................................................5 Tarea técnica......................................................................................................................6 Resumen............................................................................................................................7 Introducción.......................................................................................................................9 Capitulo #1: Revisión bibliográfica…………………………………………………………10 1.1- Generalidades……………………………………………………………………………..10 1.2- Método de las componentes simétricas………………………………………….......10 1.3- Operador de fase......................................................................................................13 1.4- Componentes simétricas de un sistema trifásico de cantidades........................14 1.5- Propiedades de los circuitos con respecto a las componentes simétricas de las corrientes y los voltajes...............................................................................17 1.5.1- Sistema estrella-estrella (Y-Y) sin conexión entre neutros...............................17 1.5.2- Sistema estrella-estrella (Y-Y) con conexión entre neutros (neutro ideal)......22 1.5.3- Sistema delta-delta................................................................................................24 1.5.4- Conexión estrella-delta.........................................................................................28 1.5.5- Conexión delta- estrella........................................................................................28 1.6- Cálculo de las componentes simétricas de corriente y voltaje en cargas trifásicas balanceadas en paralelo…………………………………………...28 1.7- Cálculo de la potencia trifásica a través del método de las componentes simétrica…………………………………………………………............30 Capitulo #2: Ejercicios resueltos...................................................................................33 Ejercicio #1.......................................................................................................................34 Ejercicio #2.......................................................................................................................37 Ejercicio #3.......................................................................................................................40 Ejercicio #4.......................................................................................................................45 Ejercicio #5.......................................................................................................................51 Ejercicio #6.......................................................................................................................57 Ejercicio #7.......................................................................................................................65 Ejercicio #8.......................................................................................................................72 Conclusiones...................................................................................................................80 Recomendaciones...........................................................................................................80 Referencias bibliográficas……………………………………………………………………81 9 INTRODUCCIÓN Cualquier red eléctrica compleja se analiza mediante la teoría de circuitos eléctricos y cuando estos son desbalanceados es necesario acudir a una herramienta como el método de las componentes simétricas. Este método nos permite descomponer una red trifásica desbalanceada en tres redes balanceadas de secuencia positiva, negativa y cero y resolver adecuadamente el problema. Esta técnica tiene sus peculiaridades en dependencia de la forma de conexión entre el generador y la carga, lo que exige un empleo cuidadoso y profundo de la teoría de los circuitos eléctricos. Además es necesario conocer las operaciones vectoriales para el uso adecuado del operador de giro que es fundamental en el tratamiento de circuitos eléctricos desbalanceados y las componentes simétricas. También para la resolución de un problema con componentes simétricas es posible utilizar varias vías de solución como pueden ser la tradicional aritméticamente o la forma matricial que se muestra en el desarrollo del trabajo, pero lo mas conveniente es resolver apoyándose en un software como Matlab que nos facilite los cálculos complejos y luego simular el circuito del ejercicio en cuestión en Simulink para corroborar que los resultados sean correctos por todas las vías. Organización del informe: Objetivos del trabajo Con este trabajo se pretende resolver analíticamente y con la ayuda de Matlab y Simulink ejercicios de redes trifásicas desbalanceadas a través del método de las componentes simétricas. Además es posible comparar los resultados de los ejemplos resueltos por las distintas vías y comprobar la correcta aplicación del procedimiento descrito. Así como también se puede utilizar por parte de profesores y estudiantes como base material de estudio con el fin de aumentar el conocimiento sobre el tema. Estructura del trabajo El trabajo está estructurado en dos partes: Una primera parte donde se realiza toda una recopilación bibliográfica que dio a conocer el estado del arte en que se encontraba la materia y se elabora todo un resumen teórico del método de las componentes simétricas. Una segunda parte donde se resuelven determinados ejercicios típicos analíticamente, en MATLAB y en SIMULINK para demostrar las diferentes vías de solución y comparar los resultados donde se verifica que estas sean correctamente aplicadas. 10 CAPÍTULO 1: REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 1.1 Generalidades En el estudio de los circuitos polifásicos con frecuencia se presentan sistemas desbalanceados de magnitudes (voltajes, corrientes, flujos magnéticos, etc. Dichos desbalances son causados por fallas asimétricas como cortocircuitos monofásicos, bifásicos, recierre de interruptores y otras, por tanto, aunque la generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica sea simétrica o balanceada, con frecuencia se requiere analizar un sistema sujeto a regímenes desbalanceados. [1] En estos casos, puede transformarse el sistema de n cantidades desbalanceadas en n sistemas de cantidades balanceadas, conocidas como componentes simétricas de las cantidades originales. Una vez que se determinan las componentes simétricas, puede obtenerse la respuesta del circuito a cada una de ellas y antitransformar los resultados parciales, llegar a la respuesta buscada. ‘’Aunque este método puede aplicarse a cualquier número y tipo de magnitudes complejas, el presente análisis se limitará al estudio de sistemas trifásicos con carga simétrica, donde los desbalances lo impondrán los voltajes o las corrientes ’’. [2] ‘’Este método fue desarrollado en 1918 por D. L. Fortescue en “Método de las coordenadas simétricas”, y se aplica a la resolución de redes polifásicas, para soluciones analíticas o en analizadores de redes. El método es válido para cualquier sistema polifásico desequilibrado: en el cual n fasores relacionados entre sí pueden descomponerse en n sistemas de vectores equilibrados (componentes simétricas). [3] En un sistema trifásico normalmente balanceado, la aparición de una falla ocasiona, por lo general, que haya corrientes y voltajes desbalanceados en cada una de las tres fases. Si las corrientes y voltajes están relacionados por impedancias constantes, se dice que el sistema es lineal y se puede aplicar el principio de superposición. ‘’La respuesta de voltaje del sistema lineal a las corrientes desbalanceadas, se puede determinar al considerar la respuesta separada de los elementos individuales a las componentes simétricas de las corrientes’’. [4] Los elementos de interés del sistema son las máquinas, transformadores, líneas de transmisión y cargas conectadas tanto en estrella como en delta. ‘’Básicamente el método consiste en determinar las componentes simétricas de las corrientes en la falla, y luego encontrar las corrientes y voltajes en diversos puntos del sistema’’. [5] Este método es sencillo y permite predecir con gran exactitud el comportamiento del sistema. ‘’Su aplicación más importante es el cálculo de fallas desbalanceadas en sistemas trifásicos simétricos, en condiciones de régimen permanente’’. [6] 1.2 Método de las componentes simétricas. ‘’De acuerdo con el teorema de Fortescue, tres fasores desbalanceados de un sistema trifásico (Fig. 1.1), se pueden descomponer en tres sistemas balanceados de fasores. Los conjuntos balanceados de las componentes se denominan: ‘’ [7]  Componentes de secuencia positiva, que consisten en tres fasores de igual magnitud, desfasados uno de otro por un ángulo de 120º y que tienen la misma secuencia de fase que los fasores desbalanceados originales (Fig. 1.2). 11  Componentes de secuencia negativa, que consisten en tres fasores iguales en magnitud, desfasados uno de otro por un ángulo de 120º con una secuencia de fase contraria a la de los fasores desbalanceados originales (Fig. 1.3).  Componentes de secuencia cero (homopolares), que consisten en tres fasores iguales en magnitud y en fase (Fig. 1.4). Figura 1.1 Sistema trifásico desbalanceado. Figura 1.2 Sistema de secuencia positiva. Figura 1.3 Sistema de secuencia negativa. 12 Figura 1.4 Sistema de secuencia cero. ‘’Se acostumbra designar a las tres fases de un sistema con A, B, C de modo que la secuencia positiva o directa sea ABC y la negativa o inversa ACB. ‘’ [8] De acuerdo a la magnitud que se considere, se denomina IA0 a la corriente de secuencia cero de la fase A, VC2 al voltaje de secuencia negativa de la fase C y de manera similar a las demás magnitudes, con los subíndices 1, 2, y 0 los correspondientes a la secuencia positiva, negativa y cero respectivamente. ‘’Si se tiene un sistema desbalanceado de tres cantidades, y este se descompone en tres sistemas balanceados como se ve en la figuras 1.5 y 1.6, es posible establecer que cada una de las cantidades originales, es la suma de las componentes de secuencia positiva negativa y cero. ’’ [9] A=A0+A1+A2 (1.1) B=B0+B1+B2 (1.2) C=C1+C2+C0 (1.3) Figura 1.5 Sistema trifásico desbalanceado. 13 Figura 1.6 Sistema trifásico desbalanceado descompuesto en 3 sistemas balanceados. 1.3 Operador de fase. Al tener en cuenta, que tanto las componentes de secuencia positiva, como las componentes de secuencia negativa, constituyen un sistema trifásico balanceado, compuesto por 3 vectores de igual magnitud y desfasados 120°, se utiliza convenientemente un operador que realice dicho desplazamiento. [10] ‘’Como operador de giro se utiliza la letra ¨ a ¨. Al multiplicar el operador de giro a por una cantidad compleja, esta última gira 120° en sentido positivo (en contra de las manecillas del reloj por convenio) permaneciendo inalterable su magnitud. ‘’ [11] Expresado matemáticamente: 866.05.0 2 3 2 1 3 2 3 2cos1201 3 2 jjjsenea j   Y de la operación sucesiva del operador sobre él mismo se obtendría: 866.0j5.0 2 3j 2 1 3 4senj 3 4cose2401a 3 4j2       )(101 23 Nkea kj   De manera general: )(1 3 Nna n  aa n  13 223 aa n   De acuerdo con la definición de a , se desprende que 1, a y 2a son las tres raíces cúbicas de la unidad, constituyendo un sistema vectorial de tres magnitudes en equilibrio. 14 Por tanto: 01 2  aa Figura 1.7 Diagrama fasorial de las raíces. En el caso del operador de giro j , se cumple que  901j y  901j , pero esta afirmación es incorrecta al tratarse del operador de giro a puesto que:  1201a , pero  6013001)1801)(1201()1(  aa . Figura 1.8 Representación fasorial de a . 1.4 Componentes simétricas de un sistema trifásico de cantidades. A partir de las expresiones y definiciones expuestas con anterioridad y con la utilización del operador a , es posible expresar las componentes simétricas de dos de las fases en términos de la otra (usualmente la fase A). [12] Siendo: (A1, B1, C1), (A2, B2, C2), (A0, B0, C0) los sistemas de secuencia positiva, negativa y cero respectivamente y con la aplicación de las propiedades del operador a es fácil deducir que: B1= 2a A1 y C1= a A1 (Fig. 1.9) 15 Figura 1.9 Giro de las fases en un sistema trifásico de secuencia positiva. Y de forma semejante: B2= a A2 y C2= 2a A2 Figura 1.10 Giro de las fases en un sistema trifásico de secuencia negativa. Y por último, por constituir un sistema de secuencia cero (de tres cantidades en fase): B0=C0=A0. El sistema de ecuaciones queda formado de la siguiente manera, en términos únicamente de las cantidades de A: A=A0+A1+A2 (1.4) B=A0+ 2a A1+ a A2 (1.5) C=A0+ aA1+ 2a A2 (1.6) El sistema de ecuaciones anterior, puede ser escrito en forma matricial, de la siguiente manera:                                2 1 0 2 2 * 1 1 111 A A A aa aa C B A (1.7) A partir de una de estas dos vías es posible encontrar las componentes simétricas A0, A1 y A2.  Con el uso del sistema de ecuaciones. Al sumar las tres expresiones se llega a: A+B+C=(1+ 2a + a )A1+(1+ a+ 2a )A2+3A0 16 Pero como 2a + a +1=0 Se obtiene la componente de secuencia cero: A0=1/3(A+B+C) (1.8) Multiplicando la ecuación (1.5) por a y (1.6) por 2a y sumando las tres ecuaciones, se obtiene la componente de secuencia positiva: A+ aB+ 2a C=3A1+(1+ 2a + a)A2+(1+ a+ 2a )A0 Por consiguiente: A1=1/3(A+ a B+ 2a C) (1.9) Multiplicando la ecuación (1.5) por 2a y (1.6) por a y sumando las tres ecuaciones, se obtiene la componente de secuencia negativa: A+ 2a B+ aC=(1+ a+ 2a )A1+3A2++(1+ 2a + a)A0 Como resultado se tiene: A2=1/3(A+ 2a B+ a C) (1.10) ‘’Las ecuaciones (1.8), (1.9) y (1.10) representan las componentes de secuencia cero, positiva y negativa de las cantidades originales A, B y C respectivamente. ‘’ [13]  Usando la vía matricial. Haciendo:              2 2 1 1 111 aa aa ;              2 1 0 A A A Ai ;              C B A D Sustituyendo en la ecuación (1.7): ][*][][ iAD  Para obtener ][ iA , se premultiplica a ambos lados por   1 :       ][**][* 11 iAD    Pero:     1*1   Donde 1 es la matriz identidad, por tanto:   ][*][ 1 DAi   (1.11) 17 Esta ecuación permite calcular las componentes simétricas del sistema desbalanceado A, B, C, la que en forma desarrollada puede escribirse:                                C B A aa aa A A A   1 1 111 3 1 2 2 2 1 0 Siendo:   1 1 111 3 1][ 2 21            aa aa 1.5 Propiedades de los circuitos con respecto a las componentes simétricas de las corrientes y los voltajes. En los circuitos trifásicos existen varias formas de asociación de las fases del generador y la carga: 1. Sistema estrella-estrella sin conexión entre neutros (generador y su carga conectados en estrella). 2. Sistema estrella-estrella con conexión entre neutros (generador y su carga conectados en estrella). 3. Sistema delta-delta (generador y su carga conectados en delta). 4. Sistema estrella-delta (generador conectado en estrella y su carga en delta). 5. Sistema delta-estrella (generador conectado en delta y su carga en estrella). Para cada una de estas conexiones se cumplen diferentes propiedades particulares con respecto a las componentes simétricas de las corrientes y los voltajes. 1.5.1 Sistema estrella-estrella (Y-Y) sin conexión entre neutros. Esta conexión que se representa circuitalmente como se muestra en la figura 1.11, supone que la fuente trifásica impone el sistema de voltajes desbalanceados Ea, Eb, Ec. 18 Figura 1.11 Circuito trifásico desbalanceado conectado en estrella-estrella sin conexión entre neutros. Para resolver esta red por el método de las componentes simétricas, se necesita descomponer el sistema desbalanceado formado por los voltajes de fase AU , BU , CU , en sus componentes de secuencia cero, positiva y negativa. Aplicando el sistema de ecuaciones compuesto por (1.8), (1.9), (1.10) o la ecuación matricial (1.11), se obtendría como resultado: 0AU , 1AU y 2AU . ‘’Empleando adecuadamente el operador a , pueden obtenerse las componentes simétricas de secuencia positiva y negativa correspondientes a las fases B y C. ‘’ [14] Para la secuencia positiva: UB1= 2a UA1 UC1= a UA1 Para la secuencia negativa: UB2= a UA2 UC2= 2a UA2 Para la secuencia cero: UB0=UC0=UA0 ‘’Los voltajes UA1, UB1, UC1, constituyen un sistema trifásico balanceado de secuencia positiva (a,b,c), pudiéndose resolver el problema por fase, mediante la aplicación de la ley de Ohm. ‘’ [15] Como en un sistema trifásico balanceado, se cumple que Un’n=0: IA1=UA1/Z Empleando adecuadamente el operador a : IB1= 2a IA1 IC1= a IA1 19 Al analizar los voltajes de línea: UAB1=UA1-UB1=UA1- 2a UA1= (1- 2a ) UA1 Pero: (1- 2a ) = 303 como se ve en la figura 1.12. Figura 1.12 Demostración fasorial de (1- 2a ) = 303 . UAB1= 303 UA1 Para el resto de los voltajes de línea: UBC1= 2a UAB1 UCA1= a UAB1 Por tanto los voltajes de línea son iguales a 303 por el voltaje de fase correspondiente, como corresponde a un sistema trifásico balanceado de secuencia positiva. ‘’Los voltajes UA2, UB2, UC2, también constituyen un sistema trifásico balanceado, pero de secuencia negativa (a,c,b), pudiéndose resolver el problema por fase, mediante la aplicación de la ley de Ohm. ‘’ [16] Como en un sistema trifásico balanceado, se cumple que Un’n=0: IA2=UA2/Z IB2= a IA2 IC2= 2a IA2 En el caso de los voltajes de línea: UAB2=UA2-UB2=UA2- a UA2= (1-a) UA2 Pero: (1- a ) =  303 como se ve en la figura 1.13. 20 Figura 1.13 Demostración fasorial de (1- a ) =  303 . UAB2=  303 UA2 Para el resto de los voltajes de línea: UBC2= a UAB2 UCA2= 2a UAB2 ‘’Por tanto los voltajes de línea son iguales a  303 por el voltaje de fase correspondiente, como corresponde a un sistema trifásico balanceado de secuencia negativa. ‘’ [17] Los voltajes UA0, UB0, UC0, constituyen un sistema de tres voltajes iguales en magnitud y fase y el análisis difiere de los casos anteriores. El voltaje de línea UAB0, o sea, el voltaje de línea AB de secuencia cero, se calcula como: UAB0=UA0-UB0=0 De manera similar: UBC0=0 UCA0=0 ‘’Puede concluirse que en un sistema trifásico desbalanceado Y-Y sin neutro, no existen voltajes de secuencia cero entre líneas, a pesar de que existen en las fases del generador. ‘’ [18] Las corrientes de secuencia cero por las líneas, IA0, IB0 e IC0, pueden ser determinadas con el empleo del método de los voltajes de nodo. 21 Figura 1.14 Circuito trifásico de secuencia cero. A partir de la figura 1.14 0 ''' 000                      Z Un Z Un Z Un  (LKC)       Z U Z n 03'3 0' Un  Cualquier corriente de línea tendría por expresión: 0' 000      Z UU Z nUIL  Por consiguiente: 0 000  CBA III ‘’Se llega a la conclusión, de que en un sistema Y-Y sin neutro, no circula corriente de secuencia cero por las líneas y que entre el neutro de la carga ( ´)n y el neutro del generador ( )n aparece el voltaje de secuencia cero de cualquiera de las fases del generador. ‘’ [19] Si se tiene en cuenta todo lo expuesto con anterioridad, puede concluirse que en un sistema estrella-estrella sin neutro:  Las componentes de secuencia positiva, constituyen un sistema trifásico balanceado de secuencia positiva, cumpliéndose en su totalidad las propiedades inherentes a los mismos.  Las componentes de secuencia negativa, constituyen también un sistema trifásico balanceado de secuencia negativa, cumpliéndose en su totalidad las propiedades inherentes a los mismos. El sistema de secuencia cero, es un sistema de tres voltajes en fase y en este caso: 22  No existe voltaje de secuencia cero entre líneas a pesar de que si existe en las fases del generador.  No circula corriente de secuencia cero por las líneas y por lo tanto, no habrá voltaje de secuencia cero en las fases de la carga.  Entre neutros ( nń ) aparece el voltaje de secuencia cero, de cualquiera de las fases del generador. A partir de las propiedades derivadas, pueden determinarse las corrientes y voltajes del circuito en términos de sus componentes simétricas: Corriente de línea: 21 AAA III  Voltaje entre líneas: 2121 303303 AAABABAB UUUUU   Voltaje entre neutros: 0' Ann UU  Voltaje en la fase de la carga: 21arg)( AAacA UUU  Para el resto de las fases se aplica el sistema de ecuaciones (1.4), (1.5), (1.6) o la ecuación matricial (1.7) y se tiene en cuenta la ausencia de las componentes de secuencia cero. 1.5.2 Sistema estrella-estrella (Y-Y) con conexión entre neutros (neutro ideal). Figura 1.15 Circuito trifásico desbalanceado conectado en estrella-estrella con conexión entre neutros. La red de la figura 1.15 está estimulada con un sistema desbalanceado de voltajes, del cual se obtienen sus componentes simétricas, de la misma forma que en el subepígrafe anterior. En el caso de los sistemas de secuencia positiva y negativa, al tratarse de sistemas trifásicos balanceados, para los cuales 0' nnU , la existencia de la conexión neutral, no afecta los resultados obtenidos en el anterior epígrafe. [20] En el caso del sistema de secuencia cero, la ausencia del conductor entre neutros motivaba que 0' ´ UnU nn  , situación que cambia con la presencia de un conductor 23 neutro ideal ( 0nZ ), ya que ahora 0' nnU y por consiguiente se alteran los resultados del subepígrafe anterior. En la figura 1.16 se representa el esquema válido para calcular las corrientes de secuencia cero circulantes. Figura 1.16 Circuito para el cálculo de las corrientes de secuencia cero. IA0=IB0=IC0=UA0/Z In´n= IA0+IB0+IC0=UA0/Z+UA0/Z+UA0/Z=3UA0/Z Por tanto: In´n0=3IA0 Puede concluirse que en un sistema estrella-estrella con neutro:  Para las componentes de secuencia positiva y negativa, continúan vigentes las mismas propiedades obtenidas, en el caso del sistema estrella-estrella sin neutro. En el caso del sistema de secuencia cero se tiene que:  No existe voltaje de secuencia cero entre líneas, a pesar de que si existe en las fases del generador.  Por las líneas circula corriente de secuencia cero, por tanto el voltaje de secuencia cero generado, aparece aplicado en las fases de la carga.  Por el neutro circula la corriente de secuencia cero, con un valor igual a tres veces el valor de la corriente de secuencia cero que circula por cualquiera de las líneas. ‘’A partir de las propiedades derivadas, pueden determinarse las corrientes y voltajes del circuito en términos de sus componentes simétricas: ‘’ [21] Corriente de línea: 210 AAAA IIII  Voltaje entre líneas: 2121 303303 AAABABAB UUUUU   Voltaje entre neutros: 0' nnU 24 Corriente por el neutro: 0 3´ Ann II  Voltaje en la fase de la carga: generadorUUUUU AAAAacA )()( 021arg  Para el resto de las fases se aplica el sistema de ecuaciones (1.4), (1.5), (1.6) o la ecuación matricial (1.7) y se tiene en cuenta la presencia o no de las componentes de secuencia cero en cada caso. En el caso de que el conductor neutro no sea ideal ( 0nZ ): Corriente de secuencia cero: )3/( 00 nAA ZZUI  Corriente de línea: 210 AAAA IIII  Voltaje entre líneas: 2121 303303 AAABABAB UUUUU   Voltaje entre neutros: 0' nnU Corriente por el neutro: 0 3´ Ann II  Voltaje en la fase de la carga: generadorUZIU ACAacA )()( arg  1.5.3 Sistema delta-delta. El estudio del comportamiento de este tipo de asociación, se facilita al analizar lo que sucede en un generador sin carga conectado en delta, como se muestra en la figura 1.17. Figura 1.17 Generador sin carga conectado en delta. Los voltajes generados ABE , BCE , CAE , son desbalanceados, pudiéndose determinar igual que en los casos anteriores, las componentes de secuencia. [22] La corriente circulante de secuencia positiva dentro de la delta, puede ser determinada como: 25 Zg EEE I CABCAB 3 111 1   Pero: 0 111  CABCAB EEE (por constituir un sistema trifásico balanceado de secuencia positiva) 0 3 111 1    Zg EEE I CABCAB ‘’Por tanto, no circula corriente de secuencia positiva dentro de la delta de un generador sin carga. Por el mismo motivo, tampoco circula corriente de secuencia negativa dentro de la delta de un generador sin carga. ‘’ [23] En el caso de la corriente de secuencia cero: Zg E Zg EI 00 0 3 3  A diferencia de los resultados obtenidos para la secuencia positiva y negativa, existe circulación de corriente de secuencia cero dentro de la delta de un generador sin carga. El valor del voltaje de línea de secuencia cero se determina mediante: 00 0000  Zg ZgEEZgIEU AB ‘’Es decir, a pesar de que en el generador existe voltaje de secuencia cero generado por sus fases, no existe voltaje de secuencia cero entre líneas, ya que el voltaje de secuencia cero generado por fase, se cae en la impedancia interna de la propia fase, debido a la circulación de la corriente de secuencia cero dentro de la delta. ‘’ [24] Para el análisis del generador conectado en delta, se ha considerado la impedancia interna de cada una de las fases. ‘’El modelo del generador ideal (sin impedancia) no responde a la realidad objetiva del generador en delta, puesto que al emplear ese modelo, se cortocircuitan tres voltajes cuya suma no es cero, por tanto este modelo no se puede utilizar para analizar este tipo de asociación. ‘’ [24] El circuito de la figura 1.18 muestra un generador trifásico desbalanceado conectado en delta, que alimenta una carga conectada en delta. ‘’Las componentes simétricas de los voltajes del generador, pueden obtenerse si es aplica el sistema de ecuaciones compuesto por (1.8), (1.9), (1.10) o la ecuación matricial (1.11). ‘’ [25] 26 Figura 1.18 Circuito trifásico desbalanceado conectado en delta-delta. ‘’El análisis para las componentes simétricas de secuencia positiva (sistema trifásico balanceado), permite obtener los siguientes resultados, para las corrientes de fase y de línea: ‘’ [26] Corrientes de fase: ZZg E II AB BABA   1 11 '' 111 '' 2 ´' BACBCB IaII  111 '''' BAACAC aIII  Corrientes de línea: 111111 ''''''''''' )1( BABABAACBAAA IaaIIIII  Pero: (1- a ) =  303 Por tanto: 11 '''  303 BAAA II  Para el resto de las corrientes de líneas: 11 ' 2 ' AABB IaI  11 '' AACC aII  ‘’Por tanto las corrientes de línea son iguales a  303 por la corriente de fase correspondiente, como corresponde a un sistema trifásico balanceado de secuencia positiva. ‘’ [27] ‘’El proceso de análisis para las componentes simétricas de secuencia negativa es análogo, llegando a la conclusión de que las corrientes de línea de secuencia negativa son iguales a 303 por la corriente de fase de secuencia negativa correspondiente, como corresponde a un sistema trifásico balanceado delta-delta de secuencia negativa. ‘’ [28] 27 El análisis de las componentes simétricas de secuencia cero, permite obtener los siguientes resultados: ‘’En un generador en vacío (sin carga) conectado en delta, no existe voltaje de secuencia cero entre líneas: ‘’ [29] 0 000  CABCAB UUU Al colocar la carga esta situación no se altera, por ser los nodos A, B, C, equipotenciales, por tanto, ni por las líneas ni por las fases de la carga circula corriente de secuencia cero: 0 000 '''  CCBBAA III 0 000 ´'´´´'  ACCBBA III El comportamiento del circuito para las componentes de secuencia cero, es independiente de que la carga esté o no conectada, más aun, es independiente de que la carga esté conectada en delta o en estrella. Puede concluirse que en un sistema delta-delta:  El sistema de secuencia positiva constituye un sistema trifásico balanceado, cumpliéndose todo lo inherente a los mismos.  El sistema de secuencia negativa constituye también un sistema trifásico balanceado, cumpliéndose todo lo inherente a los mismos. El sistema de secuencia cero es un sistema de tres voltajes en fase y en este caso:  No es posible representar al generador sin su impedancia interna.  La corriente de secuencia cero circula dentro de la delta independientemente de que el generador este o no con carga.  Todo el voltaje de secuencia cero se cae en la impedancia interna del generador, y entre líneas el voltaje de secuencia cero es nulo.  ‘’La corriente de secuencia cero no circula por las líneas y por tanto, tampoco por la carga. ‘’ [30] A partir de las propiedades derivadas, las corrientes y voltajes del circuito en términos de sus componentes simétricas, se determinan como: Corriente dentro del generador: 021)( BABABAgenBA IIII  Corriente dentro de la carga: 21arg)( ABABacAB III  Corriente por la línea: 21 30 3 303 ABABA III   Voltaje entre líneas: 21 ABABAB UUU  Para el resto de las fases se aplica el sistema de ecuaciones (1.4), (1.5), (1.6) o la ecuación matricial (1.7) y se considera la presencia o no, de las componentes de secuencia cero en cada caso. 28 1.5.4 Conexión estrella-delta. El estudio del comportamiento de este tipo de asociación, brinda resultados coincidentes con los obtenidos en el caso de la conexión estrella-estrella (Y-Y) sin neutro. La diferencia estaría en que el voltaje en las fases de la carga coincidiría con el voltaje entre líneas. A partir de estos voltajes pueden calcularse las corrientes de secuencia por las fases de la carga y con ellas las corrientes de secuencia por las líneas. Es evidente que entre líneas no hay voltaje de secuencia cero y por tanto, tampoco corriente de esa secuencia. [31] Un procedimiento alternativo, sería transformar la delta en su estrella equivalente y resolver el circuito. Una vez obtenidos todos los valores de corriente y voltaje, se regresaría a la delta y se calcula entonces, los valores asociados a la carga original. 1.5.5 Conexión delta- estrella. Las condiciones para este caso se pueden derivar a partir de la conexión delta-delta. Un procedimiento alternativo, sería transformar la estrella en su delta equivalente y resolver el circuito. Una vez obtenidos todos los valores de corriente y voltaje, se regresaría a la estrella, calculando entonces, los valores asociados a la carga original. [32] ‘’En todas las conexiones analizadas, se ha supuesto que el generador conectado en estrella, era un generador ideal ( 0Zg ), unido a la carga (estrella o delta), por conductores ideales (sin impedancia), no siempre puede asumirse lo anterior, ya que pudiera ser necesario considerar las impedancias internas del generador o las impedancias presentes en las líneas o en el conductor neutro. ‘’ [33] Lo anterior no causaría gran alteración de los análisis realizados, pero los resultados obtenidos no pueden aplicarse mecánicamente, sino que siempre es imperioso determinar lo válido para cada caso en cuestión. 1.6 Cálculo de las componentes simétricas de corriente y voltaje en cargas trifásicas balanceadas en paralelo. En el epígrafe anterior se establecieron las bases para el cálculo de las corrientes y voltajes, para los tipos de conexiones del generador y los tipos de carga más conocidos. ‘’En cualquier caso, y como condición impuesta por la ley de Kirchhoff de los voltajes (LKV), entre líneas no existen voltajes de secuencia cero, independientemente del grado de desbalance existente en los voltajes generados por las fases del generador. ‘’ [34] ‘’La diversidad de asociación entre el generador y las cargas, exige la aplicación de artilugios matemáticos para resolver la disyuntiva y llegar a obtener el resultado correcto. ‘’ [35]  Cargas trifásicas balanceadas en paralelo (estrella-delta). 29 Figura 1.19 Cargas en paralelo conectadas en estrella-delta. Si la carga número 1 esta conectada en estrella y la número 2 en delta, lo lógico sería convertir una de las dos en su estrella o delta equivalente, combinar las cargas y proceder de acuerdo a lo tratado con anterioridad en lo que a componentes simétricas se refiere. La opción depende de la conexión del generador, pero suponiendo que esté en estrella, es más conveniente llevar la carga número 2 a su estrella equivalente y luego resolver el circuito mediante el empleo de las componentes simétricas, ‘’teniendo en cuenta la posibilidad de la circulación de corriente de secuencia cero, únicamente en caso de existir un conductor neutro. ‘’ [36] En el caso de que el generador este en delta, la corriente de secuencia cero circulará en el interior de la delta, pero sin salir a la línea. En ningún caso existirá voltaje de secuencia cero entre líneas. ‘’Una vez calculadas todas las corrientes y los voltajes, con ayuda de las ecuaciones (1.4), (1.5), (1.6) o la ecuación matricial (1.7) para lo que se vale del operador a , se sintetizan estos valores obteniéndose los valores reales. ‘’ [37]  Cargas trifásicas balanceadas en paralelo (estrella-estrella-delta) con impedancias en las líneas y el neutro. Figura 1.20 Cargas en paralelo conectadas en estrella-estrella-delta con impedancias en las líneas y el neutro. 30 Para la asociación de las cargas mostrada en la figura 1.20, debe prestarse especial atención a la impedancia del neutro. Para la secuencia positiva y negativa la impedancia del neutro no interviene en los cálculos. Para las componentes de secuencia cero, debe recordarse que por el neutro circula tres veces el valor de la corriente de línea de secuencia cero. Figura 1.21 Esquema de secuencia cero de la fase A. Para el esquema de secuencia cero correspondiente a la fase A, mostrado en la figura 1.21: 0'' 3 AAnn II  La abertura del circuito a la derecha de A´´´, refleja que la corriente de secuencia cero no puede circular hacia la delta. ‘’En la práctica, las cargas pueden estar conectadas de muy diversas formas, para cada caso específico se debe realizar un análisis cuidadoso, aplicar adecuadamente todos los conceptos relacionados con las componentes simétricas y seleccionando en cada caso la mejor variante de solución. ‘’ [38] 1.7 Cálculo de la potencia trifásica a través del método de las componentes simétricas. En cualquier sistema trifásico balanceado o no, la potencia total es la suma de las potencias de cada una de las fases. Puede obtenerse una expresión que permita calcular la potencia total en términos de las componentes simétricas de las corrientes y los voltajes. [39] Se conoce en general que: *UIjQPS  Para el caso de la potencia trifásica: 31 *** 3 CCBBAA IUIUIUS  Sean:                       C B A C B A I I I I U U U U ]   ;   [][ de ahí que:    *3 IUS T (1.12) Ahora bien:                                2 1 0    1 1 111   2 2 A A A C B A U U U aa aa U U U o      iAUU  (1.13) Y también:                                2 1 0    1 1 111   2 2 A A A C B A I I I aa aa I I I o      iAII   (1.14) Sustituyendo (1.13) y (1.14) en (1.12) se tiene:        * 3   ii A T A IUS   (1.15) La conjugada del producto es igual al producto de las conjugadas, luego: * 2 2 2 1 0  *   1 1 111 ]*[                      A A A I I I aa aaI (1.16) ‘’La conjugada de una matriz se obtiene conjugando cada uno de sus términos. Además si se observa con detenimiento se nota que *2 )(a = a y lógicamente 2* )( aa  por otra parte la transpuesta del producto de dos matrices es el producto de las transpuestas en orden inverso, luego: ‘’ [40] 32                        2 2 1 1 111         210 aa aaUUUUUU AAA TT A T A T ii  (1.17)                            * * * 2 2*** 2 1 0   1 1 111 A A A A I I I aa aaII i  (1.18) Sustituyendo (1.17) y (1.18) en (1.16) queda:                                  * * * 2 2 2 2 3 2 1 0 210   1 1 111   1 1 111    A A A AAA I I I aa aa aa aaUUUS  Ahora bien:     T y               100 010 001 *  3  * Al multiplicar por esta matriz unitaria queda:              * * * 3 2 1 0 210  3 A A A AAA I I I UUUS  O de otra forma:    * 3 3 ii A T A IUS  Esta última expresión nos permite calcular la potencia trifásica en función de las componentes simétricas de la fase A solamente y al desarrollarla sería: *** 3 221100 333 AAAAAA IUIUIUS  33 CAPÍTULO 2: EJERCICIOS RESUELTOS MATLAB es el nombre abreviado de “MATrix LABoratory”. MATLAB es un programa para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Como caso particular puede también trabajar con números escalares −tanto reales como complejos−, con cadenas de caracteres y con otras estructuras de información más complejas. Una de las capacidades más atractivas es la de realizar una amplia variedad de gráficos en dos y tres dimensiones. MATLAB tiene también un lenguaje de programación propio. MATLAB es un gran programa de cálculo técnico y científico. Para ciertas operaciones es muy rápido, cuando puede ejecutar sus funciones en código nativo con los tamaños más adecuados para aprovechar sus capacidades de vectorización. En otras aplicaciones resulta bastante más lento que el código equivalente desarrollado en C/C++ o Fortran. En cualquier caso, el lenguaje de programación de MATLAB siempre es una magnífica herramienta de alto nivel para desarrollar aplicaciones técnicas, fácil de utilizar y que aumenta significativamente la productividad de los programadores respecto a otros entornos de desarrollo. MATLAB dispone de un código básico y de varias librerías especializadas (toolboxes). Aunque el origen de MATLAB estuvo íntimamente ligado a la manipulación y computación de y con matrices, durante los últimos años ha evolucionado de forma que hoy se puede considerar como un software de propósito general para todas las ramas de la matemática y la ingeniería desde el punto de vista numérico y computacional. También es posible el cálculo simbólico con MATLAB siempre que se disponga del toolbox apropiado; en este caso el Symbolic toolbox. Existen muchos otros toolboxes que, sobre la base del núcleo de MATLAB, proporcionan funciones específicas para el cálculo numérico de ciertas partes concretas de la matemática, la ingeniería y otras ciencias. MATLAB posee un simulador propio, el Simulink, el cual es una extensión gráfica de MATLAB, destinado a la modelación y simulación de sistemas lineales y no lineales. En el Simulink los sistemas se dibujan en la pantalla como diagramas de bloque. La construcción de un modelo, se simplifica, con el empleo los numerosos bloques pertenecientes a diferentes librerías. El Simulink está integrado con MATLAB y los datos pueden ser transferidos fácilmente entre los programas En los medios universitarios MATLAB se ha convertido en una herramienta básica, tanto para los profesionales e investigadores de centros docentes, como una importante herramienta para el dictado de cursos universitarios, tales como sistemas e ingeniería de control, álgebra lineal, procesamiento digital de imágenes, etc. En el mundo industrial MATLAB está siendo utilizado como herramienta de investigación para la resolución de complejos problemas planteados en la realización y aplicación de modelos matemáticos en ingeniería. 34 Ejercicio #1 Determine las componentes simétricas de las cantidades:  3010A  6030B  14515C Respuesta: A partir de esta ecuación: )( 3 1 0 CBAA  y sustituyendo los valores numéricos tenemos: )1451560303010( 3 1 0 A  4.476.513.479.30 jA Luego para la secuencia positiva:    446.1742.1242.12 )]240145(15)12060(303010[ 3 1 )( 3 1 1 1 2 1 jA A CaaBAA Y por último la secuencia negativa:    15623.83.354.7 )]120145(15)24060(303010[ 3 1 )( 3 1 2 2 2 2 jA A aCBaAA Ahora a partir de los valores hallados podemos obtener los tres sistemas, siendo para la secuencia positiva:   1646.17)12044(6.17 2846.17)24044(6.17 11 1 2 1 aAC AaB Y para la secuencia negativa:   8423.8)240156(23.8 3623.8)120156(23.8 2 2 2 22 AaC aAB Finalmente para la secuencia cero:  4.476.5000 CBA En este punto se pueden comprobar los resultados ya que: 210 AAAA  Al sustituir los valores queda:   30109.467.8 3.341.742.1258.1213.479.3 jA jjjA Procediendo de igual forma para el resto de las cantidades quedaría:   603096.259.14 12.479.384.465.61725.4 jB jjjB   1451561.827.12 12.479.318.886.085.492.16 jC jjjC 35 Respuesta en Matlab: >> a=1*exp(j*120*pi/180) % Operador de giro a = -0.5000 + 0.8660i >> A=8.66+5i;B=15-25.98i;C=-12.287+8.6i; >> A0=(1/3)*(A+B+C) A0 = 3.7910 - 4.1267i >> A1=(1/3)*(A+a*B+a^2*C) A1 = 12.4169 +12.4404i >> A2=(1/3)*(A+a^2*B+a*C) A2 = -7.5479 - 3.3137i >> B1=a^2*A1 B1 = 4.5653 -16.9735i >> C1=a*A1 C1 = -16.9822 + 4.5331i >> B2=a*A2 B2 = 6.6437 - 4.8798i >> C2=a^2*A2 C2 = 0.9042 + 8.1935i 36 >> B0=3.7910 - 4.1267i;C0=3.7910 - 4.1267i C0 = 3.7910 - 4.1267i >> A=A0+A1+A2 A = 8.6600 + 5.0000i >> B=B0+B1+B2 B = 15.0000 -25.9800i >> C=C0+C1+C2 C = -12.2870 + 8.6000i Respuesta en Simulink: Figura 1.1: Archivo .mdl para el cálculo de las componentes de secuencia de los voltajes de fase del generador trifásico desbalanceado. 37 Figura 1.2: Parámetros de la fuente que representa la fase A del generador trifásico. Figura 1.2: Parámetros que especifican las características del display. Ejercicio #2 Determine la lectura del amperímetro aplicando componentes simétricas siendo: ] [05 ] [010 ] [0 ] [1500 ] [0150      jZ jZ VV VjV VjV n c b a 38 Figura 2.1: Generador trifásico desbalanceado con carga balanceada conectada en estrella y conductor neutro con impedancia. Respuesta: ] [452505050 3 015000150 3 0 0 0 VjV jjV VVVV a a cba a      ]   [224522 025 45250 3 0 0 0 0 AjI I ZZ VI a a n a a       ]  [4526 4522*3 3 ' ' 0' AI I II nn nn ann    R: / El amperímetro mide 8.4853 Amperes. Respuesta en Matlab: >> Va=150+0i;Vb=0+150i;Vc=0; >> Z=10+0i;Zn=5+0i; >> Va0=(Va+Vb+Vc)/3 Va0 = 50.0000 +50.0000i >> Iao=Va0/(Z+3*Zn) Iao = 2.0000 + 2.0000i 39 >> In=3*Ia0 In = 6.0000 + 6.0000i >> abs(In) ans = 8.4853 Respuesta en Simulink: Figura 2.2: Archivo .mdl para el cálculo de la componente de secuencia cero de la corriente de fase del generador y la corriente por el neutro. 40 Figura 2.3: Parámetros de la resistencia de la carga conectada en estrella. Figura 2.4: Parámetros del bloque de medición de la corriente del neutro. Ejercicio #3 Dado el siguiente generador trifásico desbalanceado en estrella con neutro y carga balanceada de valor: ]    [020  jZ 0 ]   [0150   VcVb jVa ]   [010  jZn Determine: Ia e In 41 Figura 3.1: Generador trifásico desbalanceado con carga balanceada conectada en estrella y conductor neutro con impedancia. Respuesta: ]   [050 330 VjVVVVV acba a    ]   [05.2 020 0501 1 Aj Z VI a a     ]   [050 33 2 1 VjVVaaVVV acba a    ]   [05.2 020 0502 2 Aj Z VI a a     ]   [050 33 2 2 VjVaVVaVV acba a    ]   [01 )010(3020 050 3 0 0 Aj ZnZ VI a a       ]   [060105.205.2021 AjjjjIIII aaaa  ]   [03) 01(3 3 0 AjjII an  42 Respuesta en Matlab: >> a=1*exp(j*120*pi/180) % Operador de giro a = -0.5000 + 0.8660i >> Va=150+0i;Vb=0;Vc=0; >> Z=20+0i;Zn=10+0i; >> Va0=(Va+Vb+Vc)/3 Va0 = 50 >> Va1=(Va+a*Vb+a^2*Vc)/3 Va1 = 50 >> Va2=(Va+a^2*Vb+a*Vc)/3 Va2 = 50 >> Ia1=Va1/Z Ia1 = 2.5000 >> Ia2=Va2/Z 43 Ia2 = 2.5000 >> Ia0=Va0/(Z+3*Zn) Ia0 = 1 >> In=3*Ia0 In = 3 >> Ia=Ia1+Ia2+Ia0 Ia = 6 44 Respuesta en Simulink: Figura 3.2: Archivo .mdl que representa al generador trifásico desbalanceado con carga balanceada conectada en estrella y conductor neutro con impedancia. Figura 3.3: Parámetros del bloque que representa la impedancia del conductor neutro. 45 Figura 3.4: Parámetros de los bloques que representan los voltajes de fase del generador trifásico desbalanceado. Ejercicio #4 En el circuito, las componentes de secuencia del voltaje (rms) de la fase a del generador trifásico desbalanceado ( VjVa 0100  , VjVb 5040  y VjVc 500  ), vienen dadas por: VjVa 0200200  VjVa 5182,98288,695470,118675,681  VjVa 0471,460395,165470,111325,112  Hallar las corrientes de línea y neutro con el método de las componentes simétricas. Figura 4.1: Generador trifásico desbalanceado con carga balanceada conectada en estrella y conductor neutro con impedancia. 46 Respuesta: Aj j j ZZ VI n a a 6209,148414,02124,08142,0 )5(368 020 3 0 0       AjII ab 6209,148414,02124,08142,000  AjII ac 6209,148414,02124,08142,000  Aj j j Z VI a a 3881,469829,60558,58166,4 68 5470,118675,681 1     AjII ab  3881,1669829,66434,17867,6)3881,469829,6)(1201()1201( 11  AjII ac  6119,739829,66992,69702,1)3881,469829,6)(1201()1201( 11  Aj j j Z VI a a 1771,96040,12558,05834,1 68 5470,111325,112 2     AjII ab  1771,1296040,12434,10132,1)1771,96040,1)(1201()1201( 22  AjII ac  8229,1106040,14992,15702,0)1771,96040,1)(1201()1201( 22  AjI jjjIIII a aaaa 7915,347845,80124,52142,7 2558,05834,10558,58166,42124,08142,0210   AjI jjjIIII b bbbb 9902,1740126,76124,09858,6 2434,10132,16434,17867,62124,08142,0210   AjI jjjIIII c cccc 0621,664570,59876,42142,2 4992,15702,06992,69702,12124,08142,0210   AjjIIIII acban 6209,145242,26372,04425,2)2124,08142,0(33 0  Respuesta en Matlab: >> a=1*exp(j*120*pi/180) % Operador de giro a = -0.5000 + 0.8660i >> Va0=20+0i;Va1=68.8675-11.5470i;Va2=11.1325+11.5470i; >> Z=8+6i;Zn=5; >> Ia0=Va0/(Z+3*Zn) Ia0 = 47 0.8142 - 0.2124i >> Ib0=Ia0 b0 = 0.8142 - 0.2124i >> Ic0=Ia0 Ic0 = 0.8142 - 0.2124i >> Ia1=Va1/Z Ia1 = 4.8166 - 5.0558i >> Ib1=a^2*Ia1 Ib1 = -6.7867 - 1.6434i >> Ic1=a*Ia1 Ic1 = 1.9702 + 6.6992i >> Ia2=Va2/Z Ia2 = 48 1.5834 + 0.2558i >> Ib2=a*Ia2 Ib2 = -1.0132 + 1.2434i >> Ic2=a^2*Ia2 Ic2 = -0.5702 - 1.4992i >> Ia=Ia0+Ia1+Ia2 Ia = 7.2142 - 5.0124i >> Ib=Ib0+Ib1+Ib2 Ib = -6.9858 - 0.6124i >> Ic=Ic0+Ic1+Ic2 Ic = 2.2142 + 4.9876i >> In=Ia+Ib+Ic In = 49 2.4425 - 0.6372i >> abs(In) ans = 2.5242 Respuesta en Simulink: Figura 4.2: Archivo .mdl para el cálculo de las componentes de secuencia de la corriente de la fase A del generador trifásico desbalanceado. Figura 4.3: Parámetros de la fuente que representa la fase B del generador trifásico. 50 Figura 4.4: Parámetros del bloque de medición del valor eficaz de la corriente. Figura 4.5: Parámetros del bloque que permite la conversión de valor máximo a valor eficaz, para cada una de las componentes de secuencia de la corriente de la fase A. Figura 4.6: Parámetros del bloque que entrega la información de cada una de las componentes de secuencia de la corriente de la fase A, de forma separada, a los indicadores. 51 Figura 4.7: Parámetros del indicador del valor de la componente de secuencia de la corriente de la fase A. Ejercicio #5 En un generador trifásico desbalanceado con la carga del ejercicio anterior acoplada en estrella, los voltajes (rms) a Hzf 60 , vienen dados por: VjVa 0100  , VjVb 5040  y VjVc 500  . Halle las componentes simétricas de los voltajes de fase del generador. Respuesta: VjjjjVVVV cbaa 020020)50050400100( 3 1)( 3 1 0  VjVV ab 02002000  VjVV ac 02002000  VjV jjjVaaVVV a cbaa   5182,98288,695470,118675,68 ))500)(1201()5040)(1201(0100( 3 1)( 3 1 1 2 1   VVV ab  5182,1298288,69)5182,98288,69)(1201()1201( 11  VVV ac  4818,1108288,69)5182,98288,69)(1201()1201( 11  VjV jjjaVVaVV a cbaa   0471,460395,165470,111325,11 ))500)(1201()5040)(1201(0100( 3 1)( 3 1 2 2 2   VVV ab  0471,1660395,16)0471,460395,16)(1201()1201( 22  VVV ac  9529,730395,16)0471,460395,16)(1201()1201( 22  52 Respuesta en Matlab: >> a=1*exp(j*120*pi/180) % Operador de giro a = -0.5000 + 0.8660i >> Va=100+0i; >> Vb=-40-50i; >> Vc=0+50i; >> Va0=1/3*(Va+Vb+Vc) Va0 = 20 >> Va1=1/3*(Va+a*Vb+a^2*Vc) Va1 = 68.8675 -11.5470i >> Va2=1/3*(Va+a^2*Vb+a*Vc) Va2 = 11.1325 +11.5470i >> Vb0=Va0 Vb0 = 20 53 >> Vc0=Vb0 Vc0 = 20 >> Vb1=a^2*Va1 Vb1 = -44.4338 -53.8675i >> Vc1=a*Va1 Vc1 = -24.4338 +65.4145i >> Vb2=a*Va2 Vb2 = -15.5662 + 3.8675i >> Vc2=a^2*Va2 Vc2 = 4.4338 -15.4145i 54 Respuesta en Simulink: Figura 5.1: Archivo .mdl para el cálculo de las componentes de secuencia de la fase A del generador trifásico desbalanceado. Figura 5.2: Parámetros generales para ejecutar la simulación y obtener las componentes de secuencia de la fase A. 55 Figura 5.3: Parámetros de la fuente que representa la fase A del generador trifásico. Figura 5.4: Parámetros del bloque de medición de voltajes y corrientes trifásicas. 56 Figura 5.5: Parámetros del bloque que implementa una rama RLC serie para obtener una impedancia    68 j a una frecuencia de Hz60 . Figura 5.6: Parámetros que se introducen en el bloque analizador de secuencia trifásico. 57 Ejercicio #6 Dado el siguiente generador desbalanceado trifásico que alimenta cargas paralelas en conexiones opuestas y con los siguientes datos: ]   [0101  jZ ]   [01001 VVa  ]   [03.172  jZ ]   [90502 VVa  ]   [01  jZn ]   [90260 VVa  Halle la lectura de los amperímetros. Fig 6.1: Generador trifásico desbalanceado con cargas balanceadas y en paralelo y conductor neutro con impedancia. Respuesta: Primeramente aplicando el defasaje del operador de giro ‘’a’’ obtenemos: ]   [120100 ]   [120100 ]   [0100 1 1 1 VV VV VV c b a    ]   [9026000 VVVV cba  Asimismo tendremos que: ]   [1550 ]   [3050 ]   [9050 2 2 2 VV VV VV c b a    Luego: ]   [1203509050)303( )303( ]   [3031000100)303( )303( 2 22 1 11 VV VV VV VV ab aab ab aab     58 ]    [7.1644.10310902905010 ]   [902 )01(3010 9026 3 ]   [905 010 9050 ]   [010 010 0100 021 1 0 0 1 2 2 1 1 1 AjI IIII A ZnZ VI A Z VI A Z VI a aaaa a a a a a a                 El amperímetro de la carga conectada en estrella mide 10.44 Amperes. ]  [21.619.667.016.612053010 0 ]  [120533.45.2 0310 120350 ]   [3010566.8 0310 303100 21 2 2 1 1 000 2 2 AjIII III Aj Z V I Aj Z V I ababab cba ab ab ab ab           El amperímetro de la carga conectada en delta mide 6.19 Amperes. ] [906 )902(3 3 ' 0 AII I II nnn n an    El amperímetro del neutro marca 6 Amperes. ]   [56.2634.1965.83.1765.8003.17 ]    [65.8090351205)303( )303( ]    [03.1703103010)303( )303( 21 2 2 1 1 2 1 AjjjIII AjI II AjI II aaa a aba a aba           Por ultimo aplicando una LKC en la fase A tenemos que: ]   [11.2368.2965.113.2731065.83.17 AjjjIII aaaTOTAL   Por tanto el amperímetro marca 29.68 Amperes. Nota: Estar bien claro de que los voltajes de línea de secuencia nula son cero y que la corriente de secuencia cero ( 0I ) en un sistema de 3 conductores es cero. 59 Respuesta en Matlab: >> a=1*exp(j*120*pi/180) % Operador de giro a = -0.5000 + 0.8660i >> Z1=10+0i;Z2=17.3+0i;Zn=1+0i; >> Va1=100+0i;Vb2=43.3+25i;Va0=0+26i; >> Va1=100+0i;Vb1=-50-86.6i;Vc1=-50+86.6i; >> Va2=0-50i;Vb2=43.3+25i;Vc2=48.29+12.94i; >> Vab1=(1.5+0.866i)*Va1 Vab1 = 1.5000e+002 +8.6600e+001i >> Vab2=(1.5-0.866i)*Va2 Vab2 = -43.3000 -75.0000i >> Ia1=Va1/Z1 Ia1 = 10 >> Ia2=Va2/Z1 Ia2 = 0 - 5.0000i 60 >> Ia0=Va0/(Z1+3*Zn) Ia0 = 0 + 2.0000i >> Ia=Ia1+Ia2+Ia0 Ia = 10.0000 - 3.0000i >> abs(Ia) ans = 10.4403 >> Iab1=Vab1/Z2 Iab1 = 8.6705 + 5.0058i >> Iab2=Vab2/Z2 Iab2 = -2.5029 - 4.3353i >> Iab=Iab1+Iab2 Iab = 6.1676 + 0.6705i 61 >> abs(Iab) ans = 6.2039 >> In=3*Ia0 In = 0 + 6.0000i >> abs(In) ans = 6 >> Ia1d=(1.5-0.866i)*Iab1 Ia1d = 17.3408 - 0.0000i >> Ia2d=(1.5+0.866i)*Iab2 Ia2d = 0.0000 - 8.6704i >> Iad=Ia1d+Ia2d Iad = 62 17.3408 - 8.6704i >> It=Ia+Iad It = 27.3408 -11.6704i >> abs(It) ans = 29.7274 Respuesta en Simulink: Figura 6.2: Archivo .mdl para el cálculo las componentes de secuencia de corriente de fase y neutro en ambas cargas. 63 Figura 6.2: Parámetros de la fuente que representa la fase C del generador trifásico desbalanceado. Figura 6.3: Parámetros del bloque de medición de voltaje y corriente trifásico. 64 Figura 6.4: Parámetros de las impedancias de las cargas en estrella y delta. Figura 6.5: Parámetros de la simulación del circuito. Figura 6.6: Parámetros del bloque de conexión T utilizado para formar la delta. 65 Ejercicio #7 En el circuito mostrado las componentes simétricas de los voltajes de fase son: ]   [46165.111.11 ]   [5.99.675.118.68 020020 2 1 0 VjU VjU jU AN AN AN    Calcular las corrientes de línea: a)- Con el neutro conectado. b)- Con el conductor neutro abierto. Figura 7.1: Generador trifásico desbalanceado con carga balanceada e impedancia en las líneas y conductor neutro con impedancia. Respuesta: a)- Para secuencia positiva 0' NNU por tanto, ]   [2.4697.6 3710 5.97.69 68 5.118.68 1 A j jI A        Por constituir un sistema trifasico balanceado de secuencia positiva se tiene: ]   [5.7397.6 ]   [5.16697.6 1 1 AI AI C B   Para la secuencia negativa 0' NNU y por lo tanto: ]   [96.1 3710 4616 68 5.111.11 2 A j jI A        66 De forma similar: ]   [1116.1 ]   [1296.1 2 2 AI AI C B   Que es un sistema balanceado de secuencia negativa. Para la secuencia cero planteamos el circuito para la fase A y tener mucho cuidado al plantear la LKV en la maya ya que entre los puntos N’N circula tres veces la corriente de secuencia cero quedando: )1568( 5**3)5612( 00 000   jIU IjjIU AAN AAAN Si el neutro tiene impedancia es conveniente sustituir su valor por el triplo y considerar que en toda la maya circula una sola corriente, 0AI . Figura 7.2: Circuito de secuencia cero donde se plantea la LKV Para este caso ]  [62.1484.0 212.0813.0 623 20 0 Aj j I A    Las corrientes de línea se obtendrían por suma: ] [7.1452.264.044.2* 3 ]   [14.641.5 58.422.2212.0813.05.157.067.698.1 ]  [16.175759.097.6212.0813.024.101.162.177.6  ]   [75.3478.801.522.7212.0813.025.06.105.581.4 0' AjII AjjjjI AjjjjI AjjjjI ANN C B A     b)- Al abrir el neutro no habrá circulación de la corriente de secuencia cero, entonces: 67 ] [74.743.5 17.541.15.157.067.698.1 ] [8.27.738.078.724.101.162.167.6 ]   [83.3688.441.625.06.105.581.4 AjjjI AjjjI AjjjI C B A    Respuesta en Matlab: >> a=1*exp(j*120*pi/180) % Operador de giro a = -0.5000 + 0.8660i >> Uan0=20+0i;Uan1=68.8-11.5i;Uan2=11.1+11.5i; >> Zl=2+1i; >> Zn=6+5i; >> Ia1=(Uan1)/(Z1+Zn) Ia1 = 4.8140 - 5.0480i >> Ib1=(a^2)*Ia1 Ib1 = -6.7787 - 1.6450i >> Ic1=a*Ia1 Ic1 = 1.9647 + 6.6930i >> Ia2=(Uan2)/(Z1+Zn) Ia2 = 1.5780 + 0.2540i >> Ib2=a*Ia2 Ib2 = -1.0090 + 1.2396i >> Ic2=(a^2)*Ia2 Ic2 = 68 -0.5690 - 1.4936i >> Ia0=Uan0/(Z1+Zn+3*5) Ia0 = 0.8142 - 0.2124i >> Ia=Ia1+Ia2+Ia0 Ia = 7.2062 - 5.0064i >> abs(Ia) ans = 8.7746 >> Ia0=Ib0; >> Ib0=Ia0; >> Ib=Ib1+Ib2+Ib0 Ib = -6.9735 - 0.6178i >> abs(Ib) ans = 7.0008 >> Ic=Ic1+Ic2+Ic0 Ic = 2.2098 + 4.5871i >> abs(Ic) ans = 5.0916 >> Inn=3*Ia0 Inn = 69 2.4425 - 0.6372i >> abs(Inn) ans = 2.5242 >> Ia=Ia1+Ia2 Ia = 6.3920 - 4.7940i >> abs(Ia) ans = 7.9900 >> Ib=Ib1+Ib2 Ib = -7.7877 - 0.4055i >> abs(Ib) ans = 7.7982 >> Ic=Ic1+Ic2 Ic = 1.3957 + 5.1995i >> abs(Ic) ans = 5.3836 70 Respuesta en Simulink: Figura 7.3: Archivo .mdl para el cálculo las componentes de secuencia de corriente de fase y conductor neutro con impedancia. Figura 7.4: Archivo .mdl para el cálculo las componentes de secuencia de corriente de fase con el conductor neutro abierto. 71 Figura 7.5: Parámetros de la impedancia de carga y neutro. Figura 7.6: Parámetros de la fuente que representan los voltajes de fase. 72 Figura 7.7: Máscara del elemento de medición conectado en la fase C del generador. Figura 7.8: Máscara del bloque de medición del valor eficaz de la corriente de la fase B del generador. Ejercicio #8 El circuito es el mismo que en el ejercicio anterior pero con la carga conectada en delta y los mismos datos. Calcular: a)- La corriente `AAI b)- La corriente por la fase de la carga ``BAI 73 Figura 8.1: Generador trifásico desbalanceado con carga en delta balanceada e impedancia en las líneas. Respuesta: a)- Al tener las líneas con impedancia es conveniente llevar la delta a su estrella equivalente. ]   [67.12 3 56 ```    jjZZZ CBA El circuito quedaría: Figura 8.2: Circuito de la carga llevado a su estrella equivalente. Entonces para la secuencia positiva queda: ]   [5.435.14 348.4 5.97.69 67.24 1 1̀ A j U I AN AA       Para la secuencia negativa: ]   [36.1232.3 348.4 4616 67.24 2 2̀ A j U I AN AA       74 En este caso no es posible que circule la corriente de secuencia cero. La corriente de línea sería: ]  [72.336.16 21.98.13 71.025.392.957.10 ` ``` 21 AjI jjIII AA AAAAAA   b)- Para la corriente de carga por la delta resulta:   18093.15.134.8 30 3 30 3 `` `` `` 21 BA AAAA BA I II I 63.083.19.12.8`` jjI BA  ]  [17.1433.10 53.202.10`` AjI BA  Respuesta en Matlab: >> Zl=2+1i; >> Zn=6+5i; >> Za=Zn/3 Za = 2.0000 + 1.6667i >> Zb=Za Zb = 2.0000 + 1.6667i >> Zc=Za % Todos los valores son prima Zc = 2.0000 + 1.6667i >> Uan1=68.74-11.5i; >> Iaa1=Uan1/(Zl+Za) 75 Iaa1 = 10.5704 - 9.9219i >> Uan2=11.1+11.5i; >> Iaa2=Uan2/(Zl+Za) Iaa2 = 3.2481 + 0.7096i >> Iaa=Iaa1+Iaa2 Iaa = 13.8185 - 9.2123i >> abs(Iaa) ans = 16.6078 >> Iab=(Iaa/(3^(1/2)))*(0.866+0.5i) Iab = 9.5684 - 0.6170i >> Iab=((Iaa1/(3^(1/2)))*(0.866+0.5i))+((Iaa2/(3^(1/2)))*(0.866-0.5i)) Iab = 9.9781 - 2.4923i 76 >> abs(Iab) ans = 10.2847 Respuesta en Simulink: Figura 8.3: Archivo .mdl para el cálculo las componentes de secuencia de corriente de fase en cada carga. 77 Figura 8.4: Parámetros del bloque de medición del valor eficaz de la corriente en la carga conectada en delta. Figura 8.5: Parámetros del bloque de medición de la corriente ``BAI . Figura 8.6: Parámetros de la barra vertical que conecta el punto común del generador conectado en estrella. 78 Figura 8.7: Parámetros de los bloques que representan las impedancias de línea y la carga en delta respectivamente. Figura 8.8: Subsistema de la máscara del bloque de medición de voltajes y corrientes trifásicas. 79 Figura 8.9: Subsistema de la máscara del bloque analizador de secuencia trifásico. 80 CONCLUSIONES Con la elaboración de este trabajo hemos llegado a las conclusiones siguientes: - Se cumplió con el objetivo propuesto al resolver analíticamente y con la ayuda de Matlab y Simulink ejercicios de redes trifásicas desbalanceadas a través del método de las componentes simétricas. - El material presentado permitirá ser utilizado por parte de profesores y estudiantes como base material de estudio con el fin de aumentar el conocimiento sobre el tema. - El lector puede comparar los resultados de los ejemplos resueltos por las distintas vías y comprobar la correcta aplicación del procedimiento descrito. RECOMENDACIONES - Colocar en la red universitaria los ejercicios resueltos para que puedan ser utilizados, por parte de estudiantes y profesores en su autoestudio y preparación. - Resolver ejercicios más complejos y más estrechamente vinculados con la práctica profesional. - Realizar en futuros trabajos un estudio del método de las componentes simétricas vinculado a los sistemas eléctricos de potencia. 81 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1- Materiales complementarios de Circuitos Eléctricos III. Irene Álvarez Bello, Américo Montó Olivera, Rosario Gil Portela. 1989 2- Bukšnaitis J. Methods for Determination of Winding Factors of Alternating-Current Electric Machines // Electronics and Electrical Engineering. – Kaunas: Technologija, 2009. 3- Bounadja M., Belmadani B., Belarbi A. W. 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