Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Matemática, Física y Computación Departamento de Matemática MODELO DIDÁCTICO PARA DESARROLLAR LA COMPRENSIÓN MATEMÁTICA EN EL PROCESO DE FORMACIÓN DE MATEMÁTICOS Tesis presentada en opción por el grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas Autora: Lic. Aida María Torres Alfonso Tutoras: Dra. Dámasa Martínez Martínez Dra. Rosina Hing Cortón Santa Clara Año 2008 22 SÍNTESIS Se exponen en el presente informe de tesis los principales resultados de una investigación que partió de las necesidades sentidas del colectivo de profesores y estudiantes del primer año de la carrera de Licenciatura en Matemática, ante los altos índices de desmotivación, bajas docentes y la necesidad de lograr permanencias conscientes, así como la adecuada preparación profesional en los egresados de este perfil que demanda el país. Al aplicar técnicas y métodos de la investigación cualitativa a estas situaciones, de manera tal que pudieran revelar las regularidades existentes en el proceso de enseñanza aprendizaje del Análisis Matemático en el primer año, se detectaron las necesidades que justifican el diseño y la propuesta de un modelo didáctico para desarrollar la comprensión matemática en los estudiantes desde el inicio del curso, de forma tal que contribuya a su adaptación y familiarización con la carrera. Estas necesidades emergen como resultado de las reflexiones en el procesamiento de la información obtenida. La modelación con enfoque sistémico del proceso de enseñanza aprendizaje del primer año le permitió a la aspirante proponer acciones para transformar el estado actual del mismo hacia la situación deseada; por lo que el establecimiento de metas de comprensión y el diagnóstico inicial como bases de los procedimientos didácticos y la evaluación continua personalizada, propician que en el proceso de enseñanza aprendizaje del primer año de Licenciatura en Matemática los estudiantes desarrollen la comprensión matemática en función de sus potencialidades y disposición consciente de formarse como matemáticos. Se presentan además, los resultados de las valoraciones emitidas por un panel de especialistas acerca de la perspectiva de utilizar el modelo didáctico propuesto en el proceso de formación de los matemáticos y las realizadas por estudiantes y profesores de la Licenciatura en Matemática. 33 INTRODUCCIÓN................................................................................................................ 4 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL DESARROLLO DE LA COMPRENSIÓN MATEMÁTICA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL PRIMER AÑO DE LA LICENCIATURA EN MATEMÁTICA .................................................................................................................. 14 1.1 EL PROCESO DE FORMACIÓN DEL MATEMÁTICO EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR EN CUBA. ... 14 1.1.1 PERSPECTIVA SOCIAL DE LA FORMACIÓN DE MATEMÁTICOS ........................................... 15 1.1.2 CARACTERIZACIÓN DEL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL PRIMER AÑO ...... 18 1.2 LA CONCEPCIÓN DESARROLLADORA DE LA DIDÁCTICA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIVERSITARIO. ............................................................................................................. 21 1.2.1 CATEGORÍAS DE LA DIDÁCTICA INTEGRADORA .................................................................. 22 1.2.2 LA ACTIVIDAD Y LA COMUNICACIÓN COMO CATEGORÍAS PSICOLÓGICAS DEL MATERIALISMO DIALÉCTICO............................................................................................................. 25 1.3 DESARROLLO DE LA COMPRENSIÓN MATEMÁTICA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL PRIMER AÑO UNIVERSITARIO................................................................................. 27 1.3.1. LA COMPRENSIÓN MATEMÁTICA DESDE LA PERSPECTIVA DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA. ................................................................................................................................... 31 1.3.2 DESARROLLO DE LA COMPRENSIÓN MATEMÁTICA FUNDAMENTADA EN LA CONCEPCIÓN DE LA DIDÁCTICA INTEGRADORA. .................................................................................................. 35 1.4 INVESTIGACIONES PRECEDENTES SOBRE COMPRENSIÓN MATEMÁTICA Y PERFECCIONAMIENTO DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR. ..... 39 CAPÍTULO 2. CONCEPCIÓN DIAGNÓSTICA DISEÑADA PARA LA DETERMINACIÓN DE NECESIDADES .................................................................... 45 2.1 CARACTERÍSTICAS DEL DIAGNÓSTICO DE NECESIDADES EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIVERSITARIO .............................................................................................................. 45 2.1.1 PARÁMETROS DEL DIAGNÓSTICO DE NECESIDADES EN LOS ESTUDIANTES DEL PRIMER AÑO DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICA EN LA UCLV ................................................................ 47 2.2 RECOPILACIÓN DE LA INFORMACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS.......................................... 52 2.2.1. SELECCIÓN DE LOS INFORMANTES ..................................................................................... 52 2.2.2. RESULTADOS DE LOS MÉTODOS Y TÉCNICAS APLICADAS ................................................. 53 2.3 PRINCIPALES NECESIDADES DETECTADAS. ............................................................................... 80 CAPÍTULO 3. MODELO DIDÁCTICO PARA DESARROLLAR LA COMPRENSIÓN MATEMÁTICA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL PRIMER AÑO DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICA82 3.1 EL MODELO DIDÁCTICO Y SUS PRINCIPIOS. ................................................................................. 82 3.1.1 CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LA MODELACIÓN COMO MÉTODO CIENTÍFICO .. 83 3.1.2 PRINCIPIOS QUE DIRECCIONAN EL MODELO........................................................................ 84 3.2 COMPONENTES Y FUNCIONABILIDAD DEL MODELO DIDÁCTICO................................................ 86 3.2.1 COMPONENTES PERSONALIZADOS ....................................................................................... 86 3.2.2 COMPONENTES PERSONALES ............................................................................................... 97 33..33 VALORACIONES ACERCA DEL MODELO DIDÁCTICO PARA DESARROLLAR LA COMPRENSIÓN EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL PRIMER AÑO DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICA.. ................................................................................................................................................................ 98 3.3.1 APLICACIÓN PARCIAL DEL MODELO DIDÁCTICO PARA DESARROLLAR LA COMPRENSIÓN MATEMÁTICA EN EL PRIMER AÑO DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICA. ...................................... 99 3.3.2 EMPLEO DE LA TÉCNICA DE EXPERTOS EN LA INVESTIGACIÓN.. ...................................... 105 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES........................................................... 113 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................. 115 44 INTRODUCCIÓN Durante muchos años y con connotaciones diferentes, en el mundo se han identificado dificultades relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, entre las que podemos mencionar: la desmotivación hacia el aprendizaje, las altas tasas de mortalidad académica, la apatía, la no comprensión, la deserción escolar y hasta en ocasiones, la creencia de que a un buen profesor de matemática no le aprueban la materia un número significativo de estudiantes. Además, existe a nivel social una tendencia, un tanto generalizada, de considerar la Matemática como algo inalcanzable e incomprensible, limitándose por esto su estudio, muchas veces, a la mecanización y a la memoria, y no a la comprensión de sus conceptos, teorías y sus posibles aplicaciones prácticas. Estas dificultades, entre otras, han generado diferentes investigaciones sobre lo que debería considerarse enseñar o sobre cómo realizar la actividad matemática en la escuela, interrogantes de los que se encarga actualmente la Educación Matemática, la cual se considera como una disciplina en formación que pretende dar cuenta de los procesos que se dan en los centros educacionales, desde y alrededor de la Matemática. El tema de la comprensión matemática debería interesarnos como profesores, formadores de profesores e investigadores, ya que nuestro objetivo fundamental es que los estudiantes comprendan más y mejor la Matemática y para favorecerlo debemos asumir un concepto de comprensión matemática, que nos permita saber qué actividades deben realizar los estudiantes para comprender; cómo debemos actuar los profesores, los estudiantes y el grupo para propiciar que ellos comprendan y en qué aspectos se debe modificar el currículo práctico, para lograr este objetivo. En sentido general la comprensión humana es considerada uno de los problemas fundamentales en la investigación de áreas tan consolidadas como la Filosofía, la Epistemología o la Psicología. Durante las últimas décadas la preocupación por su estudio también se ha generalizado en el ámbito de la Educación Matemática, al reconocerse de forma mayoritaria la conveniencia de garantizar entre los alumnos un aprendizaje comprensivo de la Matemática, principalmente porque aporta ventajas de formación intelectual, reduce las dificultades derivadas del carácter jerárquico de la propia disciplina, proporciona experiencias satisfactorias que fomentan actitudes favorables hacia la Matemática, apoya la autonomía en el aprendizaje futuro y propicia el uso flexible del 55 conocimiento ante nuevos tipos de problemas en contextos diversos (Rico, 1997; NCTM, 2000), entre otras razones. A este reconocimiento hay que unir, de otro lado, la consideración de la especificidad del conocimiento matemático como factor determinante que condiciona su comprensión, lo cual acredita aún más que la investigación relacionada con el desarrollo de la comprensión de un objeto matemático determinado se contemple en la actualidad como una labor específica a realizar desde la Educación Matemática. Por otra parte, debemos tener en cuenta las consideraciones de la comunidad internacional, con respecto a las transformaciones necesarias que se exigen en la actualidad en las clases de matemática en cualquier nivel educativo, expresado en la Conferencia Internacional de Expertos sobre la Enseñanza de las Ciencias, la Tecnología y las Matemáticas en pro del Desarrollo Humano, celebrada en Goa, India, del 20 al 23 de febrero de 2001, en su declaración final, entre otras cuestiones se expresa que: “Se suele considerar que la reforma del plan de estudios es un mecanismo destinado a mejorar la calidad de la educación y en el campo de la Enseñanza de las Ciencias, la Tecnología y las Matemáticas se han realizado muchas transformaciones. Sin embargo, la renovación de los planes de estudios no basta, ya que también se deberá innovar en la manera de impartir la educación mediante la modificación de las prácticas pedagógicas y el perfeccionamiento de los recursos didácticos” La Educación Superior Cubana exhibe con orgullo ante el mundo, que trabaja y se manifiestan avances en el perfeccionamiento de la labor educativa, de sus planes de estudio y en la determinación precisa del nivel de conocimientos y habilidades básicas de los estudiantes. Y si bien es cierto que nuestra universidad está desarrollando un modelo pedagógico que centra su atención en el estudiante, sus características personales y sociales, así como las necesidades profesionales que el territorio determina, sin embargo, siguen siendo las asignaturas de ciclo básico, entre las que se encuentra la Matemática, obstáculos que deberán vencer los alumnos en su empeño por lograr éxito en su formación universitaria. En ocasiones aceptamos como un hecho que los estudiantes de la Educación Superior dominan los contenidos del nivel precedente, cuando podemos constatar por investigaciones realizadas en instituciones de nuestro país que muestran aún, el predominio 66 en las aulas de este nivel de enseñanza: la secundaria y pre universitaria, de un proceso con carácter esencialmente instructivo, cognoscitivo, en el cual se centran las acciones mayormente en el profesor y no en los estudiantes (Rico y Silvestre, 2003), entre otras cuestiones reflejan que el alumno aprende de forma reproductiva, estando bastante afectado el desarrollo de habilidades y de reflexión crítica y autocrítica en los estudiantes. Por lo que estos, no siempre, se involucran en el proceso y en ocasiones el estudiante transita de un grado a otro con una preparación insuficiente para enfrentarse al nuevo nivel. Estos investigadores reflexionan acerca de que los profesores muchas veces nos cuestionamos porque un estudiante al transitar de un nivel a otro o de un año a otro, no cumple con los requerimientos del conocimiento más elemental que debía tener y en sentido general sucede porque en realidad no “comprende” ese conocimiento, pues lo único que para el alumno tiene sentido es memorizarlo, porque de lo contrario no podría “aprobar” el curso. En sentido general la universidad cubana de estos tiempos requiere una manera nueva de entender los conceptos de profesor y estudiante, como actores principales del cambio trascendental que junto a la sociedad cubana está forjando, sobre la base de una cultura de compromiso social acorde con los nuevos tiempos. Seamos consecuentes entonces, con el reto que la dirección del M.E.S. nos ha planteado:"…los profesores, estudiantes y todos los participantes en estas transformaciones, están obligados a despojarse de sus conceptos tradicionales y asumir los nuevos desde una posición abierta al cambio, con iniciativa, creatividad, porque solo de ese modo las transformaciones propuestas podrán materializarse en la actividad práctica. De otro modo, comenzarán las incomprensiones y la tendencia a mantener los mismos métodos y formas organizativas anteriores, con lo cual se frenarían y se limitarían esas transformaciones.” (Horruitiner, P., 2006, 12) Otra cuestión que deberá atender de manera priorizada la nueva universidad, según la fuente anteriormente citada, es lo relacionado con la responsabilidad que asume de trabajar para lograr niveles de permanencia y de egreso acorde con los niveles de acceso ya logrados y los que en un futuro se lograrán. Así como la determinación del nivel real con que ingresan los estudiantes y las acciones docentes para resolver ese problema desde el contenido mismo de los planes y programas de estudio, que es el aspecto menos trabajado y por tanto, más actual. 77 Analicemos entonces la problemática que enfrentamos al formar matemáticos, teniendo en cuenta además, que las especialidades de ciencias básicas constituyen los cimientos de la cultura científica del país vinculadas al desarrollo tecnológico y a la asimilación de tecnología de punta, reconociéndose que la Informática, la Microelectrónica, la Ingeniería Genética, las Ciencias Biológicas y Farmacéuticas y la Bioinformática tienen una gran deuda con esas ciencias básicas; dependiendo esencialmente para su desarrollo de la existencia de profesionales bien preparados en Matemática, Física y Química. Ha sido objeto de estudio para el claustro de la carrera de Licenciatura en Matemática de la Universidad Central de Las Villas, de manera sistemática el abordaje de las problemáticas siguientes: se mantienen las bajas matrículas, en un alto por ciento los estudiantes expresan abiertamente desmotivación por la carrera e incertidumbre por su papel como matemáticos en la sociedad, según se refiere en Torres y Hing (2003). Por otra parte se reconoce que la Comisión Nacional de Carrera ha atendido esta problemática, la que con algunos rasgos distintivos, de manera general se presenta también en los otros dos centros donde se estudia la carrera: la Universidad de La Habana y la Universidad de Oriente y por ejemplo con el perfeccionamiento del Plan C se adoptaron decisiones con respecto al sistema evaluativo y se potenció el vínculo de estudiantes y profesores a centros científicos importantes, desde la práctica laboral e investigativa. Se reconoce por parte de los claustros de profesores, que el Plan de estudios D es flexible y abierto; dando la posibilidad de contribuir a la formación del futuro Licenciado en Matemática mediante la disciplina integradora desde el primer año de la carrera. En la Universidad Central de Las Villas, es en el primer año donde las asignaturas Análisis Matemático y Álgebra provocan la totalidad de las bajas docentes, debido entre otros factores a que el alto contenido teórico de estas asignaturas, rompe con el enfoque algebraico y rutinario de la Matemática que se imparte en la enseñanza precedente, que pone énfasis en las operaciones matemáticas, de una manera más algorítmica. La experiencia de la docente investigadora durante varios cursos como profesora de Análisis Matemático y Coordinadora de Primer Año le permitió ser partícipe de los análisis semestrales, cortes evaluativos y de evaluación integral de los estudiantes durante varios cursos y aunque se logran personalizar estos análisis, los mismos han estado enfocados a 88 adoptar medidas académicas y formativas del tipo correctivas y con carácter orientativo, pero en pocas ocasiones han sido análisis predictivos. La problemática que caracteriza el proceso de formación de matemáticos es un fenómeno complejo y difícil de abordar en su conjunto, por lo que delinearemos solo algunas de las aristas que de alguna manera han repercutido en el diseño de nuestra investigación: Bajos resultados académicos, la desmotivación por la carrera, la creencia de que no pueden vencer y el poco espíritu de colectivo. Existen diferencias sustanciales en los estudiantes del grupo de primer año en cuanto a sus preparaciones de la matemática precedente, incluso en aquellos que reconocen que les gusta la Matemática, pero que encuentran muchos obstáculos para lograr el éxito. Dificultades con la utilización del lenguaje matemático para fundamentar la actividad matemática que desarrollan, tanto de manera interpretativa, es decir, entender el lenguaje matemático que se les presenta, como para exponerlo ante su profesor o en el grupo de estudiantes. Se detectan dificultades en los estudiantes de años superiores al no poder utilizar, de manera consciente y natural, los objetos matemáticos estudiados en los primeros años, ya que solo aprendieron operaciones, memorizaron teoremas, pero no siempre comprendieron el origen, características y propiedades del objeto matemático que ahora se le presenta representado de otra forma o en condiciones matemáticas diferentes. Por otra parte, en los estudiantes que promueven, se denota en ocasiones, una insuficiente preparación para asimilar los nuevos contenidos, es decir, no siempre son capaces de transferir los conocimientos precedentes dentro de la carrera. Por lo que es conveniente desde la práctica docente propiciar que los estudiantes comprendan no sólo, el desarrollo histórico y epistemológico de la Matemática desde el inicio del primer año de la carrera, para que puedan utilizar los conceptos, teoremas y métodos que se les enseñará en las asignaturas de ese año y en las disciplinas que recibirán en años superiores; sino también la importancia social de ser matemático, sus valores y la necesidad que tiene el país de que contribuyan a su desarrollo, insertados en grupos interdisciplinarios. El análisis anteriormente descrito nos revela la necesidad de que los estudiantes en el primer año de la carrera de Licenciatura en Matemática, comprendan la actividad 99 matemática que desarrollan teniendo en cuenta el encargo social de este profesional. Por otra parte, se reconoce que no basta con los cambios que se han ejecutado en los Planes de Estudio, se impone trabajar en el desarrollo integral de estos jóvenes, de manera tal que se conciba una enseñanza desarrolladora que tenga en cuenta en el proceso didáctico la transformación de los métodos, el uso efectivo de los medios, las formas de organización y la evaluación del proceso de enseñanza aprendizaje. La situación problémica descrita nos coloca ante la necesidad centrada de favorecer el desarrollo de la comprensión matemática en los estudiantes del 1er año de Licenciatura en Matemática y el camino del logro de esta comprensión nos coloca ante la búsqueda de la respuesta al siguiente problema científico: ¿Cómo desarrollar la comprensión matemática en los estudiantes del 1er año, como parte del proceso de formación del Licenciado en Matemática? Para dar respuesta al problema, se tomó como objeto de la investigación el proceso de enseñanza aprendizaje en el primer año de la carrera de Licenciatura en Matemática. Formulándose como objetivo general a alcanzar, el siguiente: Proponer un modelo didáctico que contribuya a desarrollar la comprensión matemática en el proceso de enseñanza aprendizaje del primer año de Licenciatura en Matemática. En correspondencia con el problema científico y teniendo en cuenta el objeto y el objetivo de la investigación, se precisa como campo de acción, el desarrollo de la comprensión matemática en los estudiantes del primer año de Licenciatura en Matemática. Con la formulación del problema científico aparece un término que necesita clarificarse: comprensión matemática Partiendo de que asumimos que Objeto matemático: Entidades que surgen al realizar sistemas de prácticas correspondientes a un campo de problemas. (Godino y Batanero, 1994) Comprensión matemática: Significa que el estudiante es capaz de: reconocer de un objeto matemático dado sus características, propiedades y representaciones; relacionarlo con otros objetos matemáticos y usarlo en toda la variedad de situaciones problémicas que sean propuestas por el profesor. Font (2003). 1100 La comprensión matemática es concebida en la tesis como un proceso que se desarrolla a medida que el estudiante transita de un nivel de comprensión a otro, siendo capaz de comunicar la actividad matemática que realiza en diferentes contextos. Como guía de la investigación se propone las siguientes interrogantes científicas: 1. ¿Cuáles son los fundamentos teóricos que sustentan el desarrollo de la comprensión matemática en el proceso de enseñanza aprendizaje del primer año de la carrera Licenciatura en Matemática? 2. ¿En qué estado se encuentra el desarrollo de la comprensión matemática en el proceso de formación del matemático en el primer año? 3. ¿Cómo elaborar un modelo didáctico que contribuya al desarrollo de la comprensión matemática en el proceso de enseñanza aprendizaje del primer año de la Licenciatura en Matemática? 4. ¿Qué resultados ofrece la valoración de la efectividad y calidad del modelo didáctico para desarrollar la comprensión matemática en el proceso de enseñanza aprendizaje del primer año de Licenciatura en Matemática? Para alcanzar el objetivo de la investigación y teniendo en cuenta los elementos anteriores, se plantean las siguientes tareas de la investigación científica: 1. Determinación de los fundamentos teóricos que sustentan el desarrollo de la comprensión matemática en el proceso de enseñanza aprendizaje en el primer año de la carrera Licenciatura en Matemática. 2. Determinación de las principales necesidades relacionadas con el desarrollo de la comprensión matemática en los estudiantes de primer año de Licenciatura en Matemática. 3. Elaboración de un modelo didáctico que contribuya al desarrollo de la comprensión matemática en el proceso de formación del matemático en el primer año. 4. Realización de una evaluación de la efectividad y calidad del modelo didáctico propuesto a través de una aplicación parcial del mismo y la técnica de expertos. La metodología de la investigación parte del método dialéctico materialista como metodología general de análisis e interpretación de los procesos de enseñanza aprendizaje y de formación de la personalidad apoyada en el paradigma cualitativo. La investigación diseñada, al pretender describir e interpretar el proceso de enseñanza aprendizaje del primer 1111 año de Licenciatura en Matemática, teniendo en cuenta fundamentalmente la perspectiva de los actores del proceso y mostrando una gran sensibilidad por el contexto, sin pretender que como resultado se realicen generalizaciones, se enmarca dentro del tipo de una Investigación Participativa Y pretendiendo actualizar la investigación realizada con el paso del tiempo, la misma se realizó en dos etapas, correspondiéndose a un estudio longitudinal, específicamente de tendencia. Para el desarrollo de las tareas científicas se combinan diferentes métodos y técnicas en la búsqueda y procesamiento de la información, los fundamentales son: A nivel teórico Análisis histórico-lógico: Se utilizó para conocer, con mayor profundidad, los antecedentes y las tendencias actuales referidas a la comprensión desde la óptica de la Didáctica de las Matemáticas, en la revisión de la literatura pedagógica y los documentos rectores del Programa de Estudio de Licenciatura en Matemática para la determinación de la esencia y regularidades del proceso de enseñanza aprendizaje de los estudiantes de primer año de esta carrera. Métodos de análisis-síntesis e inducción-deducción: Se utilizó para caracterizar el objeto y campo de acción de la investigación. Análisis sistémico estructural -funcional: que permite modelar el objeto proceso de enseñanza aprendizaje del primer año mediante la especificación de los componentes que intervienen en el mismo, así como las relaciones entre ellos, determinando por un lado, la estructura, sus componentes y su funcionamiento. Método de modelación: Fue utilizado en la caracterización de la situación deseable del proceso de enseñanza aprendizaje para desarrollar la comprensión matemática en los estudiantes del primer año y para dar la solución del problema científico, es decir, modelar el proceso de formación del Licenciado en Matemática de forma que se contribuya al desarrollo de la comprensión matemática en el primer año. A nivel empírico Análisis de documentos: Para constatar, desde el punto de vista oficial, las relaciones de continuidad entre los contenidos recibidos en niveles anteriores y los que se requieren en la universidad, se incluye conocer el comportamiento de la permanencia de los estudiantes en el primer año de la carrera en la UCLV, en la última década y la influencia del Análisis 1122 Matemático en las bajas ocurridas en este año de estudio. Además la aspirante actualizó los requerimientos que el Plan de Estudios D establece para la formación de matemáticos, puestos en vigor en el curso escolar 2007 – 2008. Los sondeos de opinión a profesores con experiencia en la actividad docente e investigativa, encuestas, entrevistas, observación participante y reuniones grupales, para profundizar en las relaciones interdisciplinarias y los requisitos necesarios para realizar las valoraciones del trabajo. Se emplean además, criterios derivados de la práctica académica e investigativa de la aspirante y de su perspectiva como observadora directa y participante en el proceso de enseñanza aprendizaje del primer año de la Carrera Licenciatura en Matemática. La aplicación de los métodos y procedimientos anteriormente mencionados revela cuál es la relación actual entre los objetivos formativos, las necesidades y aspiraciones de los estudiantes que arriban a nuestras aulas universitarias para estudiar Licenciatura en Matemática y los métodos predominantes que en el proceso de enseñanza aprendizaje se realizan hasta este momento, con lo que se obtiene un juicio favorable para la formulación de un modelo didáctico mediante el cual se desarrolle la comprensión matemática en el proceso de enseñanza aprendizaje del primer año de Licenciatura en Matemática respaldado por una base conceptual en su metodología que le permite su implementación. Se emplea además, como procedimiento técnico la triangulación de los datos obtenidos a través de los diferentes métodos y otras técnicas utilizadas. A nivel matemático y estadístico Se utilizó el análisis porcentual y elementos de la estadística descriptiva para mostrar, procesar y analizar los datos obtenidos como resultado de la aplicación de los métodos empíricos. El criterio de expertos para la valoración de la calidad y la efectividad del modelo. La novedad científica del trabajo consiste en la concepción de la comprensión matemática a desarrollar en estudiantes universitarios y en la modelación, con carácter sistémico, del proceso de enseñanza aprendizaje del primer año de Licenciatura en Matemática, utilizando este referente teórico con el objetivo de contribuir a desarrollar en los estudiantes la comprensión matemática, en función de sus potencialidades y disposición consciente de formarse como matemáticos. 1133 El impacto de la propuesta radica en que para la Didáctica de la Educación Superior aún son un reto: el desarrollo de la comprensión matemática, el diseño de procedimientos didácticos, el diagnóstico de la comprensión matemática y la evaluación personalizada. Como aporte teórico de este trabajo se ofrece la fundamentación teórica de: La concepción del desarrollo de la comprensión matemática en estudiantes universitarios. Un modelo que contribuye al desarrollo de la comprensión matemática en el proceso enseñanza aprendizaje del primer año de Licenciatura en Matemática y un sistema de principios que lo direccionan en función de lograr ese objetivo. Constituyen aportes prácticos los siguientes: Orientaciones metodológicas para diagnosticar los niveles de comprensión matemática en los estudiantes que comienzan sus estudios en el primer año de la universidad. Cuerpo de recomendaciones para profesores con el objetivo de diseñar procedimientos didácticos de manera que complementando los métodos y medios que se utilicen en el proceso de enseñanza aprendizaje del primer año de Licenciatura en Matemática, se favorezca en los estudiantes, el desarrollo de la comprensión matemática. La temática abordada posee gran importancia y actualidad si se tiene en cuenta que el Ministerio de Educación Superior dirige sus objetivos hacia una enseñanza mucho más personalizada donde es muy importante que los estudiantes sean capaces de vencer los obstáculos y promover con calidad, (MES, 2004). La tesis consta de tres capítulos, conclusiones, recomendaciones, bibliografía y anexos. Los contenidos de los capítulos, en forma abreviada, son los siguientes: En el primer capítulo se establece el marco teórico referencial sobre el desarrollo de la comprensión matemática en el proceso de enseñanza aprendizaje del primer año de la Licenciatura en Matemática, lo que permite fundamentar el modelo que se propone.   En el segundo capítulo se hace un diagnóstico de necesidades del proceso de enseñanza aprendizaje que permitirán la orientación adecuada para el desarrollo de la comprensión matemática en el contexto del primer año de la carrera de Licenciatura en Matemática. En el tercer capítulo se propone un modelo didáctico para desarrollar la comprensión matemática en el proceso de enseñanza aprendizaje del primer año de la Licenciatura en Matemática. 1144 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL DESARROLLO DE LA COMPRENSIÓN MATEMÁTICA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL PRIMER AÑO DE LA LICENCIATURA EN MATEMÁTICA En este capítulo se realiza un análisis teórico de los aspectos fundamentales que sirven de base al trabajo. Valorando la perspectiva social de la formación de matemáticos para el desarrollo de la sociedad cubana actual, así como las características principales del proceso de enseñanza aprendizaje del primer año de la carrera de Licenciatura en Matemática. Se fundamenta teóricamente el desarrollo de la comprensión matemática en el proceso de enseñanza aprendizaje universitario, culminando con una valoración de la actualidad de la temática, realizando referencias a investigaciones precedentes sobre: comprensión matemática y el perfeccionamiento de la enseñanza de la matemática en la Educación Superior. 1.1 EL PROCESO DE FORMACIÓN DEL MATEMÁTICO EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR EN CUBA Transcurridos más de cuarenta años de existencia de la carrera de Matemática, su pertinencia está a criterio de la Comisión Nacional de la Carrera, fuera de toda duda y su impacto social ha quedado demostrado, sobre todo a partir de las evaluaciones externas realizadas primeramente en la Carrera de Matemática en las Universidades de La Habana y de Oriente, que culminaron con el reconocimiento de la Junta de Acreditación Nacional, la cual decidió declararlas en 2005 como carreras de excelencia. Y posteriormente en la Universidad Central de Las Villas se obtuvo similar resultado. Fue sin lugar a dudas, un desafío en el año 1962 al crear la carrera en la Universidad de La Habana y en la Universidad Central de Las Villas, desarrollar una tradición de investigación matemática y una voluntad de aplicación de las teorías matemáticas a la resolución de los problemas reales del desarrollo científico, económico y social. 1155 En la actualidad, aún con insatisfacciones, podemos aseverar que la tradición existe, y a juicio de la Comisión Nacional de Carrera de lo que se trata ahora, es que cada cual, desde el rol que le corresponda jugar en el proceso de formación de matemáticos, lo realice con la eficacia que se requiere. 1.1.1 PERSPECTIVA SOCIAL DE LA FORMACIÓN DE MATEMÁTICOS La formación de los matemáticos que necesita la sociedad cubana del siglo XXI, debe estar condicionada por la integración de los conocimientos que hoy son esenciales desarrollar, para el avance tecnológico que requiere nuestra sociedad. Formar a estos estudiantes bajo un espíritu de solidaridad, cooperación, responsabilidad individual y unidad, los preparará para trabajar en equipos multidisciplinarios donde estos valores primarán sobre las necesidades individuales. Los resultados de la ciencia cubana han venido siendo progresivamente superiores y su impacto en el bienestar de nuestro pueblo, la recuperación económica, la protección del medio ambiente y el desarrollo de nuestra sociedad socialista, ha sido creciente, especialmente en los últimos dos decenios. Al entrar en un nuevo milenio, donde la importancia del conocimiento, la información y las tecnologías es evidente, se hace más palpable aún la necesidad imperiosa de sustentar la estrategia de desarrollo económico y social sostenible de nuestro país en una fuerte base de conocimientos científicos y tecnológicos, y en una actitud permanentemente innovadora, donde se aprovechen al máximo las posibilidades nacionales de generación de conocimientos y tecnologías, a la vez que se utilicen de manera eficiente y creadora los avances científicos y tecnológicos que ocurren en el mundo. Por lo que se hizo necesario establecer una proyección de Ciencia y Tecnología; el Ministerio de Ciencia, Tecnología y Medio Ambiente, dentro del proyecto "La Ciencia y los Científicos en la Batalla de ideas" emite la propuesta de temas priorizados de Investigación Científica y Desarrollo Tecnológico para los próximos años. Y reconoce que (…) las investigaciones en física, matemática, informática, nuevos materiales, etc. son tan esenciales para todas las ramas, que por ello merecen una atención priorizada y diferenciada (…). Reconociendo así que el desarrollo tecnológico en el mundo de hoy está cada vez más vinculado a los nuevos descubrimientos de las ciencias básicas así como al desarrollo y consolidación de sus teorías. Entonces, se hace necesario consolidar la comunidad científica matemática, donde la formación de matemáticos tiene un peso 1166 científico futuro, es de vital importancia para el desarrollo del país, debido a que cada día con más énfasis, la ciencia es mas interdisciplinaria: la matemática, las ciencias de la información, la física, la química y la biología hoy se integran y entrelazan para aportar sistemas de conocimientos que son esenciales para el avance las biotecnologías, la industria farmacéutica, la energía, las tecnologías informáticas y las comunicaciones. Pero debemos analizar objetivamente las condiciones en las cuales enfrenta hoy, este reto la comunidad matemática, analicemos solo algunos aspectos: - Se encuentra dispersa y cumpliendo diferentes roles en la sociedad. - La especialidad de Licenciatura en Matemática recibe en sus aulas una escasa matrícula y en un alto por ciento de la misma motivados por la computación y la informática y no por desarrollar la Matemática como ciencia exacta. - Insuficiente inserción de matemáticos en Grupos de Investigación con resultados de Impacto Social y Tecnológico. Si lo anterior se le añade que dentro de las Líneas Directrices de esta proyección científica nacional están: a) Problemas no lineales, Matemática Discreta, Reconocimiento de patrones, teorías de aproximación, funciones y probabilidades. b) Sistemas complejos, redes neuronales y algoritmos genéticos. c) Métodos matemáticos de optimización y procesamiento de señales. Y además se reconoce en esta proyección la necesidad de intensificar la preparación de los recursos humanos calificados en estas áreas. Todo lo anterior justifica la necesidad de formalizar investigaciones pedagógicas que evalúen las características del proceso de formación de los matemáticos, conjugando el mismo con la motivación por su especialidad y la incorporación de los medios informáticos, de forma tal que como resultado brindemos a la sociedad cubana los profesionales que ella necesita. Un aspecto importante, a juicio de la aspirante, lo conforma el uso de las tecnologías de la información y la comunicación en la formación matemática de estos estudiantes, el cual reclama la existencia de nuevas estrategias en el proceso didáctico y metodológico tradicionalmente usado en los centros universitarios, potenciando que el saber no tenga 1177 porque recaer solo en el profesor y la función del estudiante no sea la de mero receptor de información. Ello plantea un cambio en los roles tradicionalmente desempeñados por los componentes del proceso de enseñanza aprendizaje, que llevan al profesor a desarrollarse en otras dimensiones, como la del diseño de procedimientos didácticos y convertirse en facilitador del proceso de aprendizaje. Propiciándoles a los estudiantes realizar de manera sistemática tareas cognitivas complejas, logrando de manera gradual que no desdeñen la matemática que reciben y a su vez no absoluticen las bondades de la tecnología. Desde la concepción en su momento, del Plan “C” de la Licenciatura en Matemática, adquiere una mayor relevancia el objetivo de formación de un profesional de perfil amplio, cuya actividad profesional se caracteriza por la aplicación de los métodos y modelos matemáticos ya conocidos a la resolución de problemas reales surgidos en las diferentes esferas de actuación, la elaboración de nuevos métodos cuando los ya conocidos no sean aplicables, la modelación matemática de situaciones diversas que forman parte del objeto de otras profesiones, la utilización de los algoritmos de cálculo que posibiliten la aplicación de los programas existentes o mediante el diseño de los esquemas de programación de los algoritmos de cálculo elaborados para la utilización práctica de esos modelos y la asesoría a otros profesionales sobre estas materias y su enseñanza en el nivel superior de educación. Todas estas tareas pueden dar lugar al planteamiento de problemas de índole puramente teórica, cuya solución implique nuevos aportes al conocimiento matemático. (Ver anexo 1) Con la experiencia de estos planes de estudio, incluyendo el Plan “C” perfeccionado, donde las asignaturas opcionales en función de las necesidades de formación del profesional en los diferentes territorios, marcó un tanto la diferencia con los anteriores, se está implementando el Plan de Estudios “D” para la carrera de Licenciatura en Matemática, que tiene una duración de 4 años y su forma de culminación es un examen estatal, aunque dando la posibilidad de concluirla mediante la defensa de un trabajo de diploma a aquellos estudiantes que durante toda la carrera y, particularmente, durante el seminario de investigación del cuarto año, obtengan resultados válidos para ser presentados en calidad de tesis de licenciatura. 1188 1.1.2 CARACTERIZACIÓN DEL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL PRIMER AÑO La carrera de Licenciatura en Matemática tiene por objetivo fundamental la formación de un profesional de perfil amplio, con un alto nivel de compromiso social y espíritu solidario, técnica y científicamente capacitado para actuar de manera independiente y creadora en la resolución de una serie de problemas comunes que surgen en las más variadas esferas de la práctica social, mediante la aplicación de los métodos y modelos matemáticos. Estos modos de actuación imprimen un carácter especial a la concepción del matemático, quien debe al mismo tiempo estar investido de algunos elementos de especialización que lo hagan potencialmente capaz de adquirir posteriormente la especialidad requerida para la resolución de problemas más complejos. En el nuevo plan de estudio D de la carrera de Matemática, se ha ratificado la importancia de la disciplina integradora "Práctica Profesional del Matemático" como uno de los ejes principales de la formación del matemático de perfil amplio. La disciplina se extiende a lo largo de los cuatro años de duración de la carrera, y en el primer año se le introduce una asignatura nueva, de carácter propedéutico, que se desarrollará durante las primeras cuatro semanas del curso, que se ha denominado "Introducción a la Matemática", a fin de facilitar a los estudiantes de nuevo ingreso un tránsito menos brusco y en ocasiones traumático a las actividades académicas del primer año de estudios. Para ello se utiliza el tiempo que estaba reservado en el calendario del primer año a la práctica laboral e investigativa con la cual terminaba el curso. La necesidad de una asignatura de ese tipo se ha hecho sentir con más fuerza en los últimos años, no obstante el establecimiento de un sistema de ingreso a la Licenciatura en Matemática basado en requisitos especiales. En el segundo semestre del primer año se mantiene el Seminario de Problemas I, con el objetivo de reforzar en los estudiantes la motivación por la profesión del matemático. (Ver anexo 2) Analicemos entonces el papel que juega el Análisis Matemático como disciplina, dentro del currículo. En la formación de matemáticos reviste una gran importancia el currículo básico, integrado por disciplinas de formación general, la práctica profesional del matemático y las disciplinas básicas matemáticas. Sin dudas es una peculiaridad dentro de las carreras universitarias, ya que la formación básica del matemático se concibe a través de estas disciplinas que están presentes en todos los años de su carrera. 1199 Una de esas disciplinas básicas matemáticas es el Análisis Matemático que es impartido durante los dos primeros cursos de la especialidad y que en el 1er año de la Licenciatura en Matemática es la asignatura que con más fuerza provoca las bajas docentes, enfatizando sin proponérselo el desinterés de los estudiantes. Por su alto contenido teórico rompe con el enfoque algebraico y rutinario del cálculo que básicamente se imparte en nuestras universidades que tiene un mayor énfasis en las operaciones algebraicas con límites, derivadas e integrales, pero de una manera más algorítmica. Perspectiva que en la enseñanza precedente ha venido formándose en los estudiantes por lo que este problema didáctico al que nos enfrentamos constituye una ruptura entre la Matemática que conoce el estudiante y la actividad matemática que necesita y debe realizar en y fuera del aula en el primer año de la Licenciatura en Matemática. El Plan de estudios D reconoce que el Análisis Matemático es una disciplina básica de larga tradición en la formación del matemático, tanto en nuestro país como internacionalmente. Por una parte, sus contenidos son generadores del desarrollo de prácticamente todas las disciplinas matemáticas de la carrera. Así como lo importante que resulta su influencia para desarrollar en el estudiante: las habilidades matemáticas de generalización y abstracción y el razonamiento lógico; lograr que se expresen clara y con precisión las ideas matemáticas y comprender la necesidad del rigor lógico en las demostraciones matemáticas. (Ver anexo 3) Por otra parte, las herramientas desarrolladas en el Análisis Matemático tienen aplicación directa o indirecta en todas las ramas de la Matemática, de la Ciencia y la Técnica. En los contenidos de esta disciplina se encuentra el germen de teorías matemáticas estudiadas en asignaturas de los años superiores y que son el punto de partida para el desarrollo de investigaciones de actualidad en temas de Teoría de Funciones y Análisis Funcional, Ecuaciones Diferenciales, Control Optimal y Teoría de Probabilidades y Estadística Matemática, por mencionar solo algunas. Sin embargo, se detectan dificultades en los estudiantes de años superiores al no poder utilizar los objetos matemáticos estudiados en esta asignatura de manera consciente y natural, ya que solo aprendieron operaciones, memorizaron teoremas, pero no siempre comprendieron el origen y desarrollo del objeto matemático que ahora se le presenta representado de otra forma o en condiciones matemáticas diferentes. 2200 Buscando la nivelación necesaria entre la preparación matemática real con el cual arriban los estudiantes de 1er año de nuestra carrera y las necesidades de formación que requieren, la asignatura Análisis Matemático I se ha concebido en este Plan D como una introducción y una motivación a los temas clásicos de esta disciplina. En ella se pretende familiarizar a los estudiantes con los problemas que históricamente determinaron la aparición de los conceptos y algunas de las herramientas usadas para su solución, sin recurrir para ello al formalismo matemático contemporáneo. Otra cuestión que se presenta en este año es que a los estudiantes les cuesta mucho trabajo en la asignatura Geometría Analítica realizar representaciones geométricas, resolver problemas y dar una interpretación de sus resultados. Por otra parte, el Álgebra se encarga, en términos generales, de estudiar las situaciones que se derivan de la presencia de una o varias operaciones definidas en un conjunto cuyas propiedades fundamentales son establecidas a partir de una axiomática específica. Es por ello que su estudio le imprime un carácter básicamente formativo, dada su contribución al desarrollo de las formas del pensamiento lógico-deductivo. Se debe tener en cuenta que las aplicaciones del Álgebra como instrumento cotidiano de trabajo dentro de las más disímiles esferas de la actividad científico-técnica del hombre, tanto en el seno de la propia Matemática como en otras ciencias, permiten considerarla como componente imprescindible en la implementación de soluciones a los problemas que en tales esferas se plantean. Es bien conocido, por ejemplo, el papel que juega la Teoría de Grupos y sus representaciones en el tratamiento de problemas de la Física del Estado Sólido y de la Química, así como el enfoque de múltiples situaciones en el campo de la Computación y la Criptografía a través de problemas relacionados con estructuras algebraicas específicas. En el caso de Filosofía e Idioma Inglés, como asignaturas, deben estar insertadas en el proceso de formación desempeñando un papel cada vez más interdisciplinario dentro del plan de estudio y por ello, hay que velar porque ambas coadyuven no sólo al desarrollo científico técnico, sino a la formación de una cultura general integral del futuro egresado. En las Indicaciones Metodológicas para el Plan de Estudios D, se reconoce además la evaluación como un aspecto neurálgico del proceso de enseñanza aprendizaje al cual las facultades del país deberán prestar suma atención. No se trata solamente de reducir el 2211 número de los exámenes tradicionales, porque muchas otras actividades que se diseñen para suplir esa reducción pueden constituir sobrecargas importantes que serán difíciles de vencer por muchos de los estudiantes. Por consiguiente, se impone una cuidadosa planificación de las actividades evaluativas de tipo frecuente y parcial en cada semestre, a fin de garantizar un balance adecuado de todas ellas que ayude a los estudiantes a lograr una planificación productiva de su tiempo de estudio. (Ver anexo 4) El análisis anteriormente descrito nos revela la necesidad de que los estudiantes en el primer año de la carrera de Matemática comprendan la actividad matemática que desarrollan, teniendo en cuenta el encargo social de este profesional. Por otra parte, se reconoce que no basta con los cambios que se han ejecutado en los Planes de Estudio, se impone trabajar en el desarrollo integral de estos jóvenes, de manera tal que se conciba una enseñanza desarrolladora que tenga en cuenta en el proceder didáctico la transformación de los métodos, el uso efectivo de los medios, las formas de organización y la evaluación del proceso de enseñanza aprendizaje. 1.2 LA CONCEPCIÓN DESARROLLADORA DE LA DIDÁCTICA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE UNIVERSITARIO La concepción Dialéctico Materialista o Integradora de la Didáctica, la que según (López y cols, 1998), ha sido sistematizada y aplicada en los últimos 40 años a la teoría y la práctica docente en los antiguos países socialistas de Europa del este, a partir de los trabajos de ruso Lev Semionovich Vigotski y en Cuba se enriqueció con lo mejor de las tradiciones pedagógicas nacionales, se asume que el desarrollo integral de la personalidad de los estudiantes es producto de su actividad y comunicación en el proceso de enseñanza aprendizaje, en el que actúan como dos contrarios dialécticos lo biológico y lo social. 1 1 La Concepción Dialéctico Materialista o Integradora se ha ido conformando y sistematizando en los últimos años, a la luz de diferentes investigaciones pedagógicas realizadas, enriquecida con la práctica docente en Cuba, y con lo mejor de las tradiciones pedagógicas nacionales, a partir del pensamiento de Félix Varela y Morales (1788-1853), José de la Luz y Caballero (1800-1862), Enrique José Varona (1849-1933), José Martí Pérez (1853-1895), Carlos de la Torre (1878-1932), Alfredo Aguayo (1866-1948), Ana Echegoyen (1902- ), Medardo Vitier (1877-1954), Piedad Maza (1901-1966), entre otros destacados educadores. 2222 Para esta concepción los actos de interacción entre los alumnos no dependen sólo de lo que ocurre en el "interior" de cada uno de ellos, sino de lo que se produce en la propia interrelación entre sujetos. El proceso de enseñanza aprendizaje, no puede realizarse sólo teniendo en cuenta lo heredado por el alumno, sino también se debe considerar la interacción sociocultural, lo que existe en la sociedad, la socialización, la comunicación. La influencia del grupo -“de los otros”-, es uno de los factores determinantes en el desarrollo individual. Esta posición asume que el hombre llega a elaborar la cultura dentro de un grupo social y no sólo como un ente aislado. En esta elaboración el tipo de enseñanza y aprendizaje puede ocupar un papel determinante, siempre que tenga un efecto desarrollador y no inhibidor sobre el alumno. Se niega entonces, el enfoque tradicionalista de la didáctica, en el que lo más importante es "el premio o el castigo" (Zubiria, 1996), sino que por el contrario se propone potenciar, desarrollar la actividad independiente en la búsqueda y de nuevos conocimientos, la formación de valores, de sentimientos. La enseñanza debe ser desarrolladora, ir delante y conducir el desarrollo, siendo este el resultado del proceso de apropiación (Leontiev, 1975) de la experiencia histórica acumulada por la humanidad. La enseñanza debe trabajar para estimular la zona de desarrollo próximo en los estudiantes. 1.2.1 CATEGORÍAS DE LA DIDÁCTICA INTEGRADORA Los principios de la enseñanza son la base o fundamento que orientan la actividad del profesor universitario y el carácter de la actividad cognoscitiva del alumno. Ellos expresan los aspectos internos, sustanciales, de ambos factores del proceso docente, y determinan la efectividad de la enseñanza. A su vez recogen determinadas leyes objetivas que rigen dicho proceso El objetivo (¿para qué enseñar y para qué aprender?) refleja el encargo que la sociedad le plantea a la educación institucionalizada. Representa el elemento orientador de todo el acto didáctico, la modelación del resultado esperado, sin desconocer el proceso para llegar a este (en cada año universitario, en una asignatura, una clase o un grupo de clases).   2233 El contenido (¿qué enseñar y aprender?) expresa de lo que se debe apropiar el estudiante, está expresado en conocimientos, habilidades, desarrollo de la actividad creadora, normas de relación con el mundo y valores que responden a un medio socio-histórico concreto. El contenido cumple funciones instructivas, educativas y desarrolladoras, tal como expresara José Martí: No hay buena educación sin instrucción, las cualidades morales suben de precio cuando están realizadas por las cualidades inteligentes.2 Según Zilberstein, J. y cols. (1999) algunas de las habilidades generales que la didáctica actual debe contribuir a desarrollar mediante procedimientos adecuados son: Habilidades relacionadas con acciones intelectuales: la observación, la descripción, la determinación de las cualidades: generales, particulares y esenciales, la comparación, la clasificación, la definición, la explicación, la ejemplificación, la argumentación, la valoración, la solución de problemas, la modelación, la elaboración de preguntas, el planteamiento de hipótesis, entre otras. Habilidades relacionadas con el trabajo en el proceso de enseñanza aprendizaje: percepción y comprensión del material objeto de estudio, elaborar fichas bibliográficas y de contenido, resumir información, preparar informes y ponencias, elaborar modelos, elaborar tablas, gráficos y medios didácticos entre otras. El método (¿cómo enseñar y cómo aprender?) constituye el sistema de acciones que regula la actividad del profesor y los alumnos, en función del logro de los objetivos. Teniendo en cuenta las exigencias actuales, se debe vincular la utilización de métodos reproductivos con productivos, procurando siempre que sea posible, el predominio de estos últimos. En apoyo de los métodos se encuentran en unidad dialéctica los procedimientos didácticos, categoría poco sistematizada en la literatura pedagógica, pero que ha sido propuesta por investigadores y pedagogos cubanos al fundamentar desde la teoría y la práctica la Didáctica Integradora. Los procedimientos didácticos deben constituir un sistema, junto a los métodos de enseñanza, en correspondencia con los objetivos que el educador se proponga. Su 2 Martí, J, citado por C. Álvarez, en Fundamentos teóricos de la dirección del proceso de formación del profesional de perfil amplio, página 14.   2244 aplicación debe ser creadora, nunca "esquemática" o aislada del contexto en el cual se desarrolla, deben atender al contenido de enseñanza; es decir, no utilizar los "procedimientos, por desarrollar una habilidad en sí", sino por su necesidad real en el proceso de enseñanza aprendizaje, velando por que siempre se manifieste la unidad entre instrucción y educación. Considerándose a los procedimientos didácticos como complemento de los métodos de enseñanza, constituyen por tanto "herramientas" que le permiten al docente orientar y dirigir la actividad del alumno en colectividad, de modo tal que la influencia de los “otros”, propicie el desarrollo individual, estimulando el pensamiento lógico, el pensamiento teórico y la independencia cognoscitiva, motivándolo a "pensar" en un "clima favorable de aprendizaje". Existen diferentes procedimientos didácticos que constituyen bases sustanciales del sistema de métodos que utilizan profesores y alumnos, al enseñar y aprender como parte del proceso de enseñanza aprendizaje. Es imprescindible unificar los esfuerzos de los educadores en torno al uso y creación de aquellos métodos y procedimientos más generales, más productivos, que complementen los diferentes métodos y que de forma coherente integren la acción de las diversas asignaturas que influyen sobre el alumno, en pro de lograr su mayor participación colectiva y consciente, el desarrollo de su pensamiento, de su imaginación, la formación de valores, de su creatividad. Los educadores que se propongan emprender una enseñanza desarrolladora deben utilizar procedimientos en sus clases que atiendan no únicamente a lo externo del proceso (la organización de la clase o la utilización de medios de enseñanza), sino que profundicen en lo interno, es decir, en aquellos procedimientos que promuevan el análisis, la síntesis, la comparación, la abstracción, la generalización, la inducción, la deducción, la demostración, la búsqueda de las causas y de las consecuencias, la búsqueda de la esencia, entre otros elementos importantes, que conduzcan a un pensamiento cualitativamente superior y que permitan a su vez, no sólo el desarrollo cognoscitivo, sino también el de los sentimientos, actitudes, valores, convicciones, que provoquen la formación de la personalidad de los niños, adolescentes y jóvenes, acorde con la realidad de nuestro proceso revolucionario. 2255 Los medios de enseñanza (¿con qué enseñar y aprender?) están constituidos por objetos naturales o conservados o sus representaciones, instrumentos o equipos que apoyan la actividad de docentes y alumnos en función del cumplimiento del objetivo. Las formas de organización (¿cómo organizar el enseñar y el aprender?) constituyen el soporte en el cual se desarrolla el proceso de enseñanza aprendizaje, en ellas intervienen todos los implicados: alumno, profesor, escuela, familia y comunidad. La evaluación (¿en qué medida se cumplen los objetivos?) es el proceso para comprobar y valorar el cumplimiento de los objetivos propuestos y la dirección didáctica de la enseñanza y el aprendizaje en sus momentos de orientación y ejecución. Se deberán propiciar actividades que estimulen la autoevaluación por los estudiantes, así como las acciones de control y valoración del trabajo de los otros. Comparte por tanto la aspirante, el planteamiento de Zilberstein y sus colaboradores acerca de que: “… una definición contemporánea de la Didáctica deberá reconocer su aporte a una teoría científica del enseñar y el aprender, que se apoya en leyes y principios; la unidad entre la instrucción y la educación; la importancia del diagnóstico integral; el papel de la actividad, la comunicación y la socialización en este proceso; su enfoque integral, en la unidad entre lo cognitivo, lo afectivo y lo volitivo en función de preparar al ser humano para la vida y el responder a condiciones socio-históricas concretas.” (Zilberstein y cols, 1999) 1.2.2 LA ACTIVIDAD Y LA COMUNICACIÓN COMO CATEGORÍAS PSICOLÓGICAS DEL MATERIALISMO DIALÉCTICO El concepto de actividad ampliamente utilizado en Psicología tiene sus orígenes y caracterizaciones precisas en la teoría materialista dialéctica, lógico-filosófica sobre el desarrollo del hombre. La actividad humana consciente tendiente a una finalidad, es un proceso tan objetivo como todos los procesos de la naturaleza. Por lo que la esencia de la actividad del hombre puede ser descubierta en el proceso de análisis del contenido de conceptos interrelacionados como: trabajo, organización social, universalidad, libertad, conciencia, planteo de una finalidad, cuyo portador es el sujeto genérico. La actividad es la sustancia de la conciencia humana. (Davidov, 1988, pág. 29). 2266 Carlos Marx introduce el concepto de actividad en la Teoría del Conocimiento, siendo para él la actividad práctica sensitiva mediante la cual las personas entran en contacto práctico con los objetos del mundo circundante, experimentan en si su resistencia, influyen sobre ellos, subordinándose a sus propiedades objetivas. El análisis de la actividad constituye el método principal del conocimiento científico, del reflejo psíquico de de la conciencia. Las bases de la teoría psicológica de la actividad fueron elaboradas por investigadores soviéticos, entre los que se destacan: Vigotsky, Rubinstein, y Leontiev, a quien se considera el creador de la más desarrollada teoría general de la actividad. En la cual, el concepto de actividad está ligado ante todo, con el objeto de la actividad el que le confiere determinada dirección, definiéndolo además como el motivo real de la actividad. Las acciones mediante las cuales se realiza la actividad constituyen sus componentes fundamentales. La acción por tanto, es un proceso subordinado a un objetivo consciente. Y una misma acción puede formar parte de distintas actividades, pasando de una actividad a otra, revelando con ello su propia independencia. Con respecto a esta dinámica relacional Leontiev presenta una ilustración simplificada y cito:”…digamos que nuestro objetivo, sea llegar a N y que para ello nuestra acción puede tener los más diversos motivos, en ese caso podremos realizar consecuentemente las más diversas actividades. La recíproca, es también cierta: que un mismo motivo puede concretarse en distintos objetivos y, por consiguiente, generar distintas acciones”. (Leontiev, 1981,85) La actividad es realizada por un conjunto de acciones subordinadas a objetivos parciales, que pueden ser sustraídas del objetivo general, en este caso, lo característico de los grados superiores de desarrollo consiste en que el papel del objetivo general lo realiza un motivo consciente, que se transforma en virtud de su carácter consciente en un motivo – objetivo. Por otra parte, a las formas de realización y concreción de la acción, Leontiev las denomina operaciones. Refiriendo que en el contexto del análisis psicológico de la actividad, la distinción entre los términos acción y operación es imprescindible. Las acciones se correlacionan con los objetivos y sus génesis está en las relaciones reintercambio de actividades y las operaciones se correlacionan con las condiciones y son el resultado de la transformación de la acción, tecnificando la misma. 2277 La actividad comporta un proceso que se caracteriza por presentar transformaciones en sucesión constante. Según la ley general del desarrollo enunciada por Vigotsky, el aprendizaje ocurre de modo que cualquier función aparece dos veces, primero a nivel interpsicológico y luego mediante un proceso de internalización, a nivel intrapsicológico. (Hernández, 2000, 5). Tal proceso de internalización tiene lugar solo a través de la actividad y la comunicación. Al explicar su origen F. Engels relaciona el trabajo y la necesidad de comunicación: “el desarrollo del trabajo al multiplicar los casos de ayuda mutua y de actividad conjunta, para cada individuo, tenía que contribuir forzosamente a agrupar aún más los miembros de la sociedad. En resumen, los hombres llegaron a un punto en que tuvieron necesidad de decirse los unos a los otros” (Engels, 1975, 273) De esta manera, la actividad y la comunicación como categorías psicológicas constituyen formas de relación humana complementarias e interdependientes. Resulta esclarecedora la concepción histórica cultural desarrollada por L. S. Vigotsky que plantea el papel de la actividad y la comunicación en la socialización del individuo desde una posición dialéctica materialista, a partir de elaboraciones teóricas novedosas para la psicología en su momento y que han logrado trascender, manteniendo actualidad e influencia en enfoques contemporáneos. 1.3 DESARROLLO DE LA COMPRENSIÓN MATEMÁTICA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL PRIMER AÑO UNIVERSITARIO La Universidad Cubana no sólo prepara al individuo en el orden teórico y práctico para desempeñarse en determinada profesión, sino que ofrece una formación que abarca de manera integral el desarrollo de la personalidad de los estudiantes. Actualmente la Educación Superior Cubana se orienta hacia la renovación del proceso de enseñanza aprendizaje pues tradicionalmente ha estado centrado en modelos de enseñanza, en los cuales se atendía a la materia y a la forma de impartirla, cuando en realidad se requiere de una óptica más ocupada por el sujeto que aprende, sus características personales y sociales, así como las necesidades profesionales que el territorio determina, es por todo esto que la flexibilidad del proceso de enseñanza potencia el aprendizaje, la formación de valores y la auto preparación científica. 2288 Si somos consecuente con lo señalado anteriormente, debemos concebir un modelo de enseñanza aprendizaje en las universidades, que garantice un aprendizaje con estas características, donde el empleo de métodos y procedimientos didácticos en el proceso de enseñanza movilicen todos los recursos de que dispone el estudiante para enfrentar su aprendizaje y por otra parte se desarrollen estilos y estrategias de aprendizaje, con lo que se propiciará que la asimilación de los conocimientos sea profunda y tenga un carácter perdurable. Cuestión que todavía se evidencia como carencia, en algunas especialidades con una fuerte formación básica en Matemática, cuyas asignaturas siguen siendo, los obstáculos más fuertes que deben vencer los alumnos en su empeño por lograr éxito en su carrera. E incluso, cuando el estudiante por su esfuerzo y el de los “otros” es capaz de aprobar la asignatura, en muchos casos el nivel de apropiación, de esos conocimientos con los cuales aprobó el examen, es tan bajo que en el próximo semestre no es capaz de relacionar estos mismos conocimientos con otras propiedades de ese mismo objeto matemático u otros de la propia disciplina, lo que denota que no llegó a comprender la naturaleza y desarrollo del mismo, por lo que su aprendizaje no es sólido para enfrentar los nuevos conocimientos que la carrera le exigirá, con lo cual no solo se pone en peligro la permanencia del estudiante en nuestras aulas, sino también la calidad del profesional que se necesita formar para el desarrollo científico técnico del país. Niveles de comprensión matemática en estudiantes del primer año universitario. La comprensión matemática como se ha declarado con anterioridad en la tesis, se concibe como un proceso que se desarrolla a medida que el estudiante transita de un nivel de comprensión a otro, muy vinculados además las posibilidades de comunicar en diferentes contextos esa actividad matemática que realiza. Cuando un estudiante universitario, comprende un objeto matemático (OM) determinado es porque pudo realizar con éxito determinados tipos de actividad correspondientes a ese objeto. Los OM más utilizados en un curso de primer año universitario, lo son: conceptos, teoremas, algoritmos, definiciones de un tema determinado de la asignatura. La comprensión tiene un carácter de potencialidad, ya que un estudiante con un nivel determinado de comprensión, en un momento dado, puede y debe transitar a un nivel superior. 2299 La comprensión matemática en un estudiante de primer año universitario, según el concepto utilizado en la tesis, estará muy vinculado al nivel de asimilación y aprendizaje de ese estudiante. Determinar el nivel de comprensión de un estudiante no solo requiere de medir un sistema de demostraciones teóricas, ejercicios, de habilidades u operaciones que puede demostrar en un examen tradicional, presupone principalmente de comprobar la calidad del proceso donde se expresa la comprensión, mediante esas habilidades y procedimientos. Nivel muy bajo Cuando el estudiante no es capaz de reconocer las características, propiedades y/o representaciones esenciales del OM. Se presentan dificultades con la realización de ejercicios rutinarios que involucran a este OM, así como con utilizar diferentes notaciones y convertir un OM de una representación a otra. Al valorar las diferentes formas de representación de un OM adoptaremos las que plantea Martínez, D. (2001) Simbólica: Mediante expresiones simbólicas sustentadas por las reglas de la lógica formal. Analítica: Mediante una expresión algebraica. Verbal: En este caso, el lenguaje común es el utilizado para representar situaciones del mundo real. Estas pueden ser modeladas en cualquiera de los otros registros. Figural: Cuando expresamos el objeto, mediante llamados diagramas Gráfica: Es la representación en el plano cartesiano, incluyendo los convenios implícitos en la lectura de gráficos. Debe considerarse este nivel también cuando un estudiante tiene dificultades al expresar en lenguaje matemático la actividad matemática que realiza. Nivel bajo Cuando el estudiante es capaz de reconocer las características, propiedades y las representaciones esenciales del OM. Sin embargo, al tratar de relacionarlos con otro u otros OM, al estudiante se le dificulta realizar ejercicios, demostraciones u aplicaciones en situaciones propuestas por el profesor. Por lo que es necesario diseñar actividades para que ese estudiante profundice en el origen y desarrollo del OM en cuestión, evitando actividades matemáticas que tengan procedimientos que el estudiante las pueda realizar mediante una rutina. 3300 Al estudiante se le dificulta en ocasiones expresar en lenguaje matemático las diferentes representaciones de ese OM que reconoce, por lo que también deben propiciarse actividades donde el estudiante describa la naturaleza y los objetivos del comportamiento del OM, por ejemplo, la búsqueda o el diseño de medios didácticos que favorezcan la comprensión de ese objeto matemático, actividad que se puede complementar con la búsqueda de información en los propios libros de texto del año acerca de su relación con otros objetos matemáticos. Nivel medio Cuando el estudiante es capaz de de reconocer las características, propiedades y las representaciones esenciales del OM y establece relaciones del OM con otros. Sin embargo, al tratar de aplicarlo en la resolución de actividades prácticas o teóricas, al estudiante se le dificulta realizar estas actividades. Por lo que es necesario diseñar actividades con ayudas bien estructuradas de los estudiantes y el colectivo de profesores que desarrollen en los estudiantes las capacidades de reflexión, abstracción, síntesis, la modelación matemática y el pensamiento algorítmico, en función de los obstáculos que ha encontrado ese estudiante en su proceso de aprendizaje. Se deben estimular los resultados que va alcanzando cada estudiante en su transito por este nivel, aún cuando no pueda saltar al otro nivel, por la importancia que tiene para un profesional que se forma en nuestra sociedad, la resolución de problemas teóricos o prácticos de su futura profesión. Nivel alto Cuando el estudiante es capaz de de reconocer las características, propiedades y las representaciones esenciales del OM; establece relaciones del OM con otros. Pero además, aplica esas las propiedades, características y representaciones del OM en la resolución de actividades prácticas o teóricas, de manera creativa, independiente y con un amplio dominio del lenguaje matemático. En el tránsito del nivel de comprensión matemática real al potencial cobra un alto valor teórico y metodológico la zona de desarrollo próximo (ZDP), donde es responsabilidad del docente detectar la comprensión matemática que pudiese alcanzar cada estudiante y en función de esta distancia diseñar los procedimientos didácticos que propicien tal desarrollo. 3311 1.3.1. LA COMPRENSIÓN MATEMÁTICA DESDE LA PERSPECTIVA DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA. "¡No pienses ni una sola vez en la comprensión como 'proceso mental'! -Pues ésa es la manera de hablar que te confunde... En el sentido en el que hay procesos (incluso procesos mentales) característicos de la comprensión, la comprensión no es un proceso mental." (Wittgenstein, 1953: Pág.155) La comprensión matemática constituye un objeto de investigación de interés creciente en Educación Matemática, sin embargo, su elevada complejidad hace que los avances más recientes aún resulten insuficientes y reclama la necesidad de ir adoptando enfoques más operativos y menos preocupados por el estudio directo de sus aspectos internos. Debido a la diversidad de enfoques en cuanto a lo que se asume por comprensión matemática, que hemos encontrado en la revisión bibliográfica realizada y sin pretender realizar un análisis completo del tema, entendemos necesario comentar algunos de ellos y suscribirnos a los que tomaremos como base teórica de nuestro modelo didáctico para desarrollar la comprensión matemática en el proceso de formación de matemáticos. Comprender, según el diccionario de la Lengua Española significa entender, penetrar, concebir, discernir, descifrar. Como proceso intelectual la comprensión supone captar significados que otros han transmitido mediante sonidos, imágenes, colores y movimientos. (Romeu A, 1999). Desde una perspectiva vinculada con el desempeño flexible sobre los modelos mentales, se plantea que la comprensión es poder realizar una gama de actividades que requieren pensamiento respecto a un tema; por ejemplo, explicarlo, encontrar evidencia y ejemplos, generalizarlo, aplicarlo, presentar analogías y representarlo de una manera nueva. Para decirlo de otra manera, la comprensión de un tópico es la "capacidad de desempeño flexible" con énfasis en la flexibilidad, o de otro modo es la capacidad de usar el conocimiento de maneras novedosas. (Perkins D, 1999) Una de las ideas más ampliamente aceptadas en la Educación Matemática es que los estudiantes deberían comprender las matemáticas (Hiebert y Carpenter 1992). En términos similares comienza Sierpinska su libro sobre la comprensión en matemáticas, "¿cómo enseñar de modo que los estudiantes comprendan?, ¿qué es lo que no comprenden 3322 exactamente? ¿qué comprenden y cómo?" (Sierpinska, 1994). El mismo supone un paso importante, al discernir entre acto y proceso de comprensión, y relacionar la "buena" comprensión de un objeto matemático dado: concepto, teoría o problema a la secuencia de actos de superar obstáculos específicos de esta situación didáctica que presentó el objeto. En la comunidad internacional de investigadores en Educación Matemática, se reconoce el interés mostrado en muchos países por las reformas curriculares promovidas por la enseñanza de las matemáticas con comprensión, así como el reflejado en las actas de congresos y en artículos de revistas en el campo de la psicología y la inteligencia artificial (Pirie y Kieren, 1994). La importancia de la idea de comprensión para la Didáctica de las Matemáticas se pone de manifiesto en los trabajos de Sierpinska, Pirie y Kieren, Koyama (1993), entre otros. Según Godino el problema de la comprensión está íntimamente ligado a cómo se concibe el propio conocimiento matemático. Los términos y expresiones matemáticas denotan entidades abstractas cuya naturaleza y origen tenemos que explicitar para poder elaborar una teoría útil y efectiva sobre qué entendemos por comprender tales objetos. Esta explicitación requiere responder a preguntas tales como: ¿Cuál es la estructura del objeto a comprender? ¿Qué formas o modos posibles de comprensión existen para cada concepto? ¿Qué aspectos o componentes de los conceptos matemáticos es posible y deseable que aprendan los estudiantes en un momento y circunstancias dadas? ¿Cómo se desarrollan estos componentes? (Godino, 1996) Como hemos enunciado, varios autores definen el conocimiento matemático como información internamente representada, por ejemplo, según Hiebert y Carpenter la comprensión ocurre cuando las representaciones logran conectarse en redes progresivamente más estructuradas y cohesivas. Pero equiparar la actividad matemática al procesamiento de información, a juicio de la aspirante es una visión reducida del problema, por lo que, desde nuestro punto de vista las teorías de la comprensión derivadas de esta concepción no modelizarían adecuadamente los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática en especial los aspectos sociales y culturales implicados en dichos procesos. 3333 Similar concepción la encontramos en la teoría APOS, donde se considera que para lograr la comprensión de un concepto matemático el individuo ha de producir acciones, procesos, objeto y esquema. (Asiala, 1996 citado por Torres y Martínez 2004: 42). Podemos observar que en esta teoría, el desarrollo de la comprensión está ligado a la transformación de objetos matemáticos por parte del sujeto, ya que estas acciones se concretan por medio de signos matemáticos. En el marco de la teoría APOS, varios colectivos de investigadores en la actualidad, estudian los constructos Acción, Proceso, Objeto y eSquema, por medio de los cuales tratan de modelar cómo se desarrolla un concepto matemático en la mente del individuo, denominando descomposición genética del concepto al conjunto estructurado de dichos constructos. (Cottrill y cols. ,1996) y (Asiala y cols., 1996, 1997) Con algunos puntos de contacto, pero mucho más dialéctica y sistémica, Pirie y Kieren consideran la comprensión como un proceso de crecimiento interminable, dinámico y estratificado pero no lineal (Pirie y Kieren, 1992), rechazando la noción de la comprensión como una función monótona creciente y la consideran como un proceso dinámico de organización y reorganización. Reconocemos las bondades de este modelo teórico, aunque no coincidimos con los autores en cuanto a relegar a último plano, en el proceso de comprensión el contenido matemático. El modelo está estructurado en ocho estratos: conocimiento primitivo, creación de la imagen, obtención de la imagen, observación de las propiedades, formalización, observación, estructuración e invención. El modelo proporciona el redoblado como un mecanismo generativo que corresponde al regreso del estudiante a un estrato interno de la comprensión para discutir, reestructurar o expandir las comprensiones inadecuadas de los estratos mas internos. La evaluación de la comprensión en este modelo no se suscribe a los resultados en test, práctica muy recurrida en estos tiempos en investigaciones de la Didáctica de la Matemática, se potencia el valor de los resultados de las entrevistas con los estudiantes. En el caso de la comprensión de problemas geométricos, encontramos un modelo teórico muy utilizado como referente en diversas propuestas didácticas y tesis de doctorado en Cuba y en el exterior. Y esto está dado porque la problemática que existe con respecto al aprendizaje y enseñanza de la Geometría es una situación que viene observándose desde hace varios años en el ámbito internacional, es así que por los años cincuenta en Holanda, 3344 dos profesores de geometría llamados Pierre Van Hiele y Dina Van Hiele-Geldolf, preocupados porque sus alumnos no entendían lo que se explicaba, deciden realizar una investigación que les permita primero, determinar la forma como se produce la evolución del razonamiento geométrico en los estudiantes y segundo, buscar la manera de ayudar a los alumnos a mejorar la calidad de sus razonamientos. Los estudiantes pueden resolver problemas concretos con bastante habilidad, pero carecen de ideas cuando deben resolver esos mismos problemas planteados en un contexto algo diferente, abstracto o más formalizado. Otra situación típica de las clases de matemática, es la de los estudiantes que tienen que recurrir a memorizar las demostraciones de los teoremas o las formas de resolver los problemas, pues es la única manera de aprobar los exámenes. Las ideas fundamentales que defiende este modelo parten de que se pueden encontrar varios niveles diferentes de perfección en el razonamiento de los estudiantes, por lo que si una relación matemática no puede ser expresada en el nivel actual de razonamiento de los estudiantes, será necesario esperar a que éstos alcancen un nivel de razonamiento superior. Y reconoce la responsabilidad del profesor en este proceso de comprensión matemática al fundamentar que no se puede enseñar a una persona a razonar de una determinada forma, pero sí se le puede ayudar mediante una enseñanza adecuada de la Matemática. Ante esta amplia gama de posiciones asumidas y abordadas en investigaciones teóricas por parte de la comunidad de Educación Matemática, nos corresponde clarificar la nuestra, que complementa el referente teórico del modelo didáctico que se propondrá para desarrollar la comprensión matemática en el proceso de enseñanza aprendizaje del primer año de la Licenciatura en Matemática: Comprender un objeto matemático, según Vicent Font consiste en ser capaz de: reconocer sus características, propiedades y representaciones; relacionarlo con otros objetos matemáticos y usarlo en toda la variedad de situaciones problémicas que sean propuestas por el profesor y reconoce además que las bases psicopedagógicas que han inspirado el currículo de los actuales sistemas educativos, en sentido general, entienden la comprensión como un proceso mental que es un punto de vista que responde a una concepción epistemológica divergente, aunque no contrapuesta a la asumida por el autor en este trabajo. 3355 Para la aspirante la comprensión matemática es un proceso que se desarrolla a medida que el estudiante transita de un nivel de comprensión a otro, siendo capaz de desarrollar a su vez, la comunicación de la actividad matemática que realiza en diferentes contextos. Asumiendo la definición de comprensión matemática de Vicent Font referida anteriormente y por tanto, para la aspirante, el estudiante universitario estará en proceso de comprender un objeto matemático cuando en diversas actividades que le presenta el profesor, el requiere utilizar diferentes notaciones y convertir una representación del objeto matemático en otra de manera natural, cuestión que como proceso, se desarrolla en forma de espiral y el estudiante transita de un nivel a otro en función del nivel de comprensión alcanzado y las posibilidades y potencialidades que reconoce él, su profesor o el grupo para alcanzar un nivel de comprensión matemática superior. (Anexo 5) Reconociendo la influencia que ejercen las interacciones que se desarrollan en la institución, ya sea entre los alumnos, entre ellos y sus profesores, entre estos últimos y entre cualquiera de estos sujetos y el contexto social en el cual se desarrolla el proceso de aprendizaje. Esta perspectiva enmarca el proceso formativo dentro de una concepción del desarrollo progresivo y gradual. 1.3.2 DESARROLLO DE LA COMPRENSIÓN MATEMÁTICA FUNDAMENTADA EN LA CONCEPCIÓN DE LA DIDÁCTICA INTEGRADORA El concepto mismo de comprensión matemática plantea complejos interrogantes: ¿de qué manera desarrollan la comprensión los alumnos?, ¿cómo valorar hasta qué punto comprenden un tema?, ¿cómo podemos, los docentes, propiciar el desarrollo de la comprensión?, ¿cómo podemos evaluar sus progresos y proporcionarles retroalimentación? ¿cómo están relacionados en el proceso, comprensión y aprendizaje? La aspirante asume que en un primer año universitario desde el punto de vista de la Concepción Integradora de la Didáctica, debe entenderse la zona de desarrollo próximo como la distancia que media entre el estado de desarrollo actual del estudiante el cual es capaz de realizar la actividad matemática propuesta por el profesor por si solo y el estado de desarrollo potencial que sería el que pudiese alcanzar con ayuda de mediadores del proceso, entiéndanse otros estudiantes, profesores, amigos, la familia, medios didácticos, actividades sociales y académicas. 3366 Consecuentemente además, con la afirmación de Vigotsky: El único tipo de instrucción adecuada es el que marcha adelante del desarrollo y lo conduce…Sigue siendo necesario determinar el umbral más bajo en que la instrucción puede comenzar, (estado de desarrollo actual) puesto que se requiere un cierto mínimo de madurez de las funciones. Pero debemos considerar también el nivel superior, (estado de desarrollo potencial) la educación debe estar orientada hacia el futuro. (Vigotsky, 1981, 118) Teniendo esto en consideración, se convierte el diseño y aplicación de un diagnóstico integral a los estudiantes; el que no solo abarque los conocimientos precedentes, si no también sus motivos, obstáculos para el éxito, preferencias académicas, investigativas, laborales; la base que permitirá diseñar procedimientos didácticos en función de los niveles de desarrollo de la comprensión matemática de un estudiante o de grupos de ellos, de manera tal que se favorezca el desarrollo integral verdadero de su personalidad durante la carrera y sentar las bases en el primer año de su formación profesional. Juega un papel fundamental en este empeño la categoría evaluación, la cual en el proceso de enseñanza aprendizaje de los estudiantes en el primer año universitario debe contribuir a que los propios estudiantes sean capaces de autovalorar su desarrollo en el proceso de aprendizaje y aprender a valorar a los demás en colectivo, es decir, socializar la evaluación, lo que le permitirá al docente conformar gradualmente el desarrollo del aprendizaje del estudiante y del grupo en función de los objetivos o metas que generó cada tema o unidad temática. Por tanto, la comunicación de la actividad matemática realizada es parte esencial del proceso de aprendizaje, en cualquiera de los niveles de comprensión por el cual este transitando el estudiante. Es importante señalar que al utilizar las tecnologías, estas sólo se convierten en medios facilitadores de la comprensión y la comunicación matemática, pero no son los únicos medios. Se pueden utilizar otros diferentes, que se escogen de acuerdo con las situaciones de comunicación específicas y de acuerdo con las posibilidades que se tengan. Los procedimientos didácticos constituyen un sistema junto a los métodos de enseñanza, en correspondencia con los objetivos que el docente se ha propuesto para un contenido determinado. 3377 Al asumir en esta tesis, las categorías de la Didáctica Integradora sustentadas en el Modelo Histórico Cultural y resultado del proceso investigativo se determinó en principio, un sistema de procedimientos didácticos que favorecen el desarrollo de la comprensión matemática en un primer año universitario: a) Valorando niveles de desarrollo de la comprensión matemática. Diseño de un diagnóstico que evalúe la actividad matemática que desarrolla el estudiante o grupos de ellos por si solo o con ayuda de otros, así como el nivel de comprensión matemática alcanzado en el nivel de enseñanza precedente. Exigiéndose por tanto un diseño de tareas, ejercicios y problemas que propicien individualmente una cadena de actividades matemáticas de amplia variedad y complejidad creciente. En consecuencia, la evaluación de la comprensión matemática no podrá ser concebida de manera única y por una sola vez de constatación, debe ser concebida, diseñada y considerada por el Colectivo Pedagógico con enfoque sistémico, partiendo de los contenidos precedentes y de los objetivos intermedios que en cuanto a la comprensión matemática este colectivo se ha trazado para ese curso escolar, atendiendo por supuesto a las necesidades sociales y competencias que ese profesional debe alcanzar al terminar su carrera, pero que deben ser trabajadas desde el primer año. b) ¿Qué matemática conoces, cuál comprendes y cuál necesitas en tu proceso de formación? Es necesario que cada estudiante identifique la matemática que conoce y cual es la que no ha podido comprender. Ya que él, no logra comprender aunque consiga “definir” el objeto matemático (conocimiento) que estudia o describa con procedimientos el mismo (habilidades) Los profesores de Matemática del primer año, deben concebir como enseñar a los estudiantes a distinguir entre el conocimiento y la comprensión matemática y su repercusión en la formación que ha emprendido en esta etapa de su vida. La comprensión matemática supone un proceso formativo centrado en el desarrollo de habilidades reproductivas y productivas que se complementan en el proceso de aprendizaje. Que se desarrolla a medida que el estudiante o grupos de ellos son capaces de expresar con lenguaje matemático y de manera natural lo que han aprendido en el proceso, lo que los prepara para nuevos conocimientos y un aprendizaje solidamente conformado. 3388 En este procedimiento se requiere que el profesor además establezca los nexos imprescindibles de la Matemática que recibe el estudiante en el primer año y su aplicación en asignaturas de años superiores y en su futura práctica profesional. c) Solucionando problemas fundamentales de la formación profesional del estudiante. Establecer los temas esenciales dentro de las asignaturas del año que pueden ser abordados de manera interdisciplinar para desarrollar la comprensión matemática. El Colectivo Pedagógico definirá que temas serán abordados desde dentro de la asignatura y si existe algún tema que pueda y sea propicio abordarse de manera interdisciplinar, así como las formas de presentación, desarrollo y evaluación de esas actividades matemáticas propuestas a los estudiantes Presentar la solución de problemas fundamentales vinculados al ejercicio de la profesión, diseñando ejercicios integradores o proyectos de curso mediante los cuales se desarrollan en los estudiantes las habilidades de identificar, analizar, representar, modelar, generalizar y/o aplicar objetos matemáticos. La evaluación de los resultados de estos trabajos les permite a los profesores valorar el proceso comprensivo de cada estudiante y por cual nivel está transitando, así como el sistema de ayudas que deben diseñar en cada caso para desarrollar su comprensión matemática. d) Propiciando la comprensión matemática a cada estudiante de primer año universitario. Algunas de las actividades matemáticas que el profesor debe conjugar en la estrategia docente, en función del nivel de comprensión matemática alcanzado por el estudiante o grupos de ellos, serían: la explicación no reproductiva, la ejemplificación, los contra ejemplos, la aplicación práctica de temas, justificación teórica, juicios y razonamiento; demostraciones, análisis y síntesis, la comparación y el contraste, así como la contextualización y la generalización. Se deben tener en cuenta además las características personales que arrojó el diagnóstico inicial, las preferencias dentro de la matemática o especialidades afines, sus motivaciones profesionales y los obstáculos que no le permiten avanzar en su proceso de aprendizaje del primer año universitario. 3399 Teniendo en cuenta tanto, el nivel de comprensión matemática actual de los estudiantes, como sus potencialidades para proponerles de manera individual las actividades matemáticas a desarrollar. Los alumnos deben percibir como propios las metas de comprensión matemática que deben alcanzar en cada etapa y en el curso escolar. Los profesores deben propiciar el desarrollo de estrategias de aprendizaje centradas en el estudio, la observación y la autorregulación de la comprensión matemática. En sentido general deben inducir al estudiante, a autorregular la actividad matemática que realiza. f) Me evalúo, te evalúo, nos evaluamos. Los profesores deben diseñar evaluaciones informales y elaborar un registro sistemático de la evolución cualitativa del tránsito por niveles de comprensión matemática de cada estudiante o grupos de ellos, con el fin de concebir las actividades docentes que se requieran para desarrollar la comprensión matemática. La valoración de la comprensión matemática regulará el proceso de aprendizaje, determinando los ajustes que requiere, no al finalizar el primer año universitario, sino cuando aún se está a tiempo de modificarlo para mejorar su eficacia. Por esta razón los profesores propiciarán actividades docentes donde se les permita a los estudiante emitir juicio de evaluación de los niveles de comprensión matemática alcanzados por él, de manera honesta, lo que aun no comprende; los niveles alcanzados por sus compañeros de grupo y dialogar con los criterios del profesor. Este tipo de actividades propician no solo el desarrollo de la comprensión matemática en estudiantes del primer año universitario, sino que fomenta valores importantes como la honestidad, el espíritu de sacrifico y autocrítico, así como la solidaridad. 1.4 INVESTIGACIONES PRECEDENTES SOBRE COMPRENSIÓN MATEMÁTICA Y PERFECCIONAMIENTO DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR Ante el propósito de realizar investigaciones que aborden algunas de las aristas de la problemática científica referente al desarrollo de la comprensión matemática, que por demás, hemos constatado de relevante actualidad e importancia, los investigadores deberán tener en cuenta las teorías científicas que sustentan los pasos que darán durante la resolución del problema científico que se han planteado. 4400 Autores como Kieran (1994), reconocen que los cambios producidos durante los últimos años en la investigación en dicho campo muestran una forma distinta de pensar sobre la comprensión del conocimiento matemático. Así, a diferencia de épocas pasadas, la reflexión actual se viene desarrollando a un elevado nivel de precisión, en parte como consecuencia de la evolución experimentada por las metodologías de investigación. Por tratarse de un ámbito de estudio diverso, se suelen adoptar perspectivas diferentes, abordando en ocasiones cuestiones parciales. Como ha quedado evidenciado en apartados anteriores de este trabajo. Como referencia específica, los trabajos más recientes pueden situarse en alguno de los dos enfoques genéricos de estudio de la comprensión matemática: (a) Enfoque directo (“principios” de la comprensión). Bajo este enfoque se contempla la comprensión del conocimiento matemático desde una perspectiva amplia y profunda, centrándose el interés en el estudio de aspectos como su naturaleza, funcionamiento, evolución o valoración. Forman parte de él las diversas teorías y aproximaciones específicas existentes (Hiebert y Carpenter, 1992; Sierpinska, 1994; Pirie y Kieren, 1994; Duffin y Simpson, 1997; Godino, 2000) así como los modelos de comprensión, de categorías y cognitivos. (b) Enfoque indirecto (“consecuencias” de la comprensión). Bajo este otro enfoque se sitúan los trabajos preocupados por el desarrollo de la comprensión matemática y por la gestión externa de los efectos que produce. En él se incluyen los estudios curriculares y propuestas que defienden argumentos y aportan sugerencias acerca de cómo enseñar y aprender matemáticas con comprensión (Hiebert y cols, 1997; Fennema y Romberg, 1999; Goñi, 2000). En términos generales, se afirma en Gallardo 2004, que el panorama actual en la investigación sobre comprensión en Educación Matemática muestra un carácter atomista con un bajo nivel de cohesión entre los estudios del primer enfoque y una limitada articulación entre los estudios desarrollados por uno u otro enfoque. Asumiendo la situación descrita en los apartados precedentes, resulta oportuno preguntarse en éste por los requisitos que debieran cumplir en la actualidad las investigaciones sobre comprensión matemática para poder ser consideradas de calidad. 4411 De acuerdo con lo subrayado por algunos de los autores que han venido reflexionando sobre esta cuestión en los últimos años (Romberg, 1992; Sierpinska et al., 1993; Coriat, 2001), todo estudio sobre comprensión matemática, al igual que de cualquier otra cuestión de interés para la Educación Matemática, debería manifestar suficientes garantías de validez, racionalidad, originalidad, rigurosidad, reproductibilidad o relevancia, entre otros criterios. Pero además de cumplir con ellos, que caracterizan a la calidad en un sentido clásico, la investigación también habría de garantizar su calidad en el sentido más amplio, sobre todo en lo concerniente a proporcionar conocimiento que permita el avance del área de forma significativa. Para tal fin se promueven investigaciones que incluyan desarrollos teóricos sólidos conectados con estudios empíricos descriptivos siempre considerados de forma provisional. Y tales desarrollos deberían proporcionar aproximaciones indirectas sobre la comprensión matemática con la suficiente potencialidad descriptiva y predictiva para garantizar su utilidad y efectividad en Educación Matemática (Koyama, 1993). Asimismo, toda aproximación en torno a la comprensión del conocimiento matemático resultante de una investigación de calidad tendría que ser, en lo posible, integradora. Lo que implica que debe ser flexible y compatible, con capacidad para asimilar y adoptar información externa a la producida por ella misma y con disposición a ser modificada y mejorada, debiéndose considerar siempre abierta y provisional. Además deben ser operativas para garantizar un grado de aplicabilidad