Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Construcciones Departamento de Ingeniería Civil TRABAJO DE DIPLOMA Título: Estimación de parámetros estructurales en puentes usando la OAPI SAP2000 - MATLAB. Autor: Yunior Afonso Aspiro. Tutor: Dr. Ing. Ernesto l. Chagoyén Méndez. Consultante: Dr. Ing. Eduardo M. Fírvida Donéstevez. Santa Clara 2016 DEDICATORIA El presente trabajo va dedicado a mis padres Enirdo Afonso González y Midanys Aspiro Martínez. A mi hermana Chavely Afonso Aspiro. A mi abuelo Antonio P. Aspiro García. A mi familia y amigos en general que han sido siempre incondicionales conmigo. A homenajear la memoria de Francisco Javier Monagas Reyes, una excelente persona y amigo. AGRADECIMIENTOS Agradezco a mis padres por ser lo más valioso en mi vida, porque siempre han estado presentes, por la educación y el amor que me han dado. A mi hermana por haber crecido junto a ella y haberme servido de inspiración, siempre estás presente en mi mente y en mi corazón. A mis abuelos que han sido como mis padres, apoyándome siempre. A mis amigos y compañeros de estudio con los que he compartido buenos y malos momentos, especialmente a: Eduardo Julio, Claudia Cruz, Ruslan, Daniel y El Pita. A mis primos, a mis tíos y a mi familia en general que me han brindado siempre su apoyo para poder estudiar. A mi novia Laura por su comprensión, compañía, amor y a su familia que es también la mía. A mi tutor el Dr. Ernesto L. Chagoyén Méndez por su asesoría para realizar este trabajo. Al Ing. Angel G. González Pérez, al Ing. Alexis Claro Duménigo y al Dr. Ing. Eduardo M. Fírvida Donéstevez, por la ayuda brindada. A todos los profesores que han contribuido a mi formación profesional. A todas las personas que de una forma u otra han contribuido al desarrollo de este trabajo. RESUMEN Esta investigación está dirigida a estimar parámetros estructurales (conocido como calibración o actualización) de modelos mecánicos de puentes confeccionados en SAP2000, aprovechando las ventajas de la implementación de los métodos de optimización que posee MATLAB. Para ello se utilizan las posibilidades que brinda la interface OAPI SAP2000 entre SAP2000 y MATLAB. El modelo mecánico elegido es el correspondiente a la superestructura del Puente La Ceniza, km. 9.578, del Ferrocarril Central. A partir de los parámetros dinámicos obtenidos de un modelo al que se le ha infringido un daño conocido en posiciones arbitrarias, se identifican como los parámetros del comportamiento dinámico "medido", las frecuencias de oscilación natural, las formas modales principales de oscilaciones propias y las curvaturas modales, necesarios para la formulación de la función objetivo del vector compuesto por los residuos de estos tres parámetros modales entre la respuesta modelada y la "medida". Esta función se minimiza empleando técnicas de optimización programadas en MATLAB (Mínimos Cuadrados No Lineal y Algoritmos Genéticos) que al finalizar, proporcionan el modelo estructural calibrado y permiten estimar parámetros estructurales del mismo, como: el Módulo de Elasticidad (E) o los espesores en elementos dañados. El propósito inmediato una vez obtenido el modelo calibrado del puente objeto de estudio en SAP2000 es facilitar su diagnóstico y evaluación bajo diferentes estados de carga que no pueden ser tomados en cuenta a la hora de realizar los diferentes tipos de ensayos, buscando garantizar que la respuesta del modelo sea aproximadamente igual que la de la estructura real. ABSTRACT This research aims to estimate structural parameters of mechanical models of bridges (known as calibration or model updating) made in SAP2000, taking advantage of the implementation of the optimization methods that has MATLAB. In order to do this, the possibilities offered by the SAP2000 OAPI interface between SAP2000 and MATLAB are used. The chosen mechanical model is the corresponding model to the superstructure of the bridge La Ceniza, km. 9,578, of the Central Railway. The dynamic parameters were obtained from a model that has been inflicted with a known damage at arbitrary positions, the eigenfrequencies, the main mode shapes and modal curvatures are identified as the parameters of the dynamic behavior "measured" necessary for the formulation of the objective function of the vector composed of residues of these three modal parameters between the modeled response and the "measure". This function is minimized using optimization techniques programmed in MATLAB (nonlinear least squares and genetic algorithms) that at the end, provide the structural model calibrated for estimating structural parameters thereof, such as: Modulus of Elasticity (E) or thicknesses damaged elements. The purpose immediately after obtaining the updated bridge model, object of study in SAP2000 is to facilitate the diagnosis and evaluation under different loading conditions that can’t be taken in consideration when performing different types of tests, it seeks to ensure that the model response is approximately equal to the response of the actual structure. ÍNDICE INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................I Problema científico .................................................................................................................... II Objeto de estudio ...................................................................................................................... III Campo de Acción ...................................................................................................................... III Hipótesis ...................................................................................................................................... III Objetivo general......................................................................................................................... III Objetivos específicos............................................................................................................... III Preguntas de investigación .................................................................................................... IV Tareas científicas ...................................................................................................................... IV Novedad científica...................................................................................................................... V Valor metodológico.................................................................................................................... V Valor práctico .............................................................................................................................. V Relevancia social....................................................................................................................... VI Organización del informe ........................................................................................................ VI Capítulo I: Estado del conocimiento sobre estimación de parámetros estructurales en modelos de puentes. ..................................................................................1 I.1 Introducción........................................................................................................................ 1 I.2 Métodos para la excitación de la estructura................................................................... 3 I.3 Instrumentación de Puentes............................................................................................. 3 I.4 Equipamiento utilizado en la instrumentación de estructuras. ................................... 4 I.4.1 Transductores para Medición de Vibraciones. ................................................................... 4 I.4.1.1 Acelerómetros. ....................................................................................................... 4 I.4.1.2 Galgas extensométricas. ......................................................................................... 6 I.4.1.3 Georadar IBIS-FS: .................................................................................................. 8 I.5 Procedimientos de prueba. ............................................................................................... 8 I.6 Tipos de Ensayos de carga no destructivos en el puente. ......................................... 10 I.7 Métodos experimentales para la medición de vibraciones en puentes. ................... 10 I.7.1 Análisis Modal Experimental (EMA). ............................................................................... 11 I.7.2 Análisis Modal Operacional (OMA). ................................................................................ 12 I.7.3 Otros métodos empleados para realizar el análisis dinámico en puentes. ......................... 13 I.8 Procesamiento de las señales obtenidas en ensayos modales. ............................... 13 I.8.1 Errores de medición. ..................................................................................................... 15 I.8.1.1 Aliasing. ............................................................................................................... 15 I.8.1.2 Leakage. .............................................................................................................. 16 I.9 Extracción de parámetros modales. .............................................................................. 17 I.9.1 Validación..................................................................................................................... 19 I.10 Modelación de Puentes. .............................................................................................. 19 I.10.1 Validación y verificación del modelo. .............................................................................. 21 I.10.1.1 Errores en la modelación. ...................................................................................... 22 I.10.1.2 Exactitud. ............................................................................................................. 23 I.11 Empleo de software para determinar parámetros estructurales en puentes (SAP2000-MATLAB). ................................................................................................................ 24 I.11.1 MATLAB....................................................................................................................... 24 I.11.2 Toolbox de Optimización. .............................................................................................. 25 I.11.3 SAP2000. ..................................................................................................................... 27 I.11.4 OAPI SAP2000. ............................................................................................................ 28 I.11.5 Uso de la OAPI SAP2000. ............................................................................................. 29 I.11.6 Funciones de la OAPI SAP2000. ................................................................................... 30 I.11.7 Algoritmo para calibrar el modelo de elementos finitos. ................................................... 30 I.12 Optimización en la calibración de un modelo estructural. ..................................... 32 I.12.1 Conceptos básicos en un proceso de optimización. ......................................................... 33 I.12.1.1 Variables de diseño. .............................................................................................. 33 I.12.1.2 Variables de estado. ............................................................................................. 33 I.12.1.3 Función Objetivo. .................................................................................................. 33 I.12.1.4 Restricciones. ....................................................................................................... 34 I.12.2 Métodos de optimización para calibración de modelos estructurales. ............................... 34 I.12.2.1 Métodos Clásicos.................................................................................................. 34 I.12.2.2 Métodos Metaheurísticos....................................................................................... 34 I.12.2.2.1 Algoritmos Genéticos. ....................................................................................... 35 I.12.3 Optimización Estructural. ............................................................................................... 36 I.12.3.1 Tipos de Optimización Estructural según el tipo de problemas. ................................ 36 I.13 Conclusiones parciales del capítulo: ........................................................................ 37 Capítulo II: Procedimiento automatizado para la estimación de parámetros estructurales utilizando la interface OAPI SAP2000 y los recursos de MATLAB, basado en resultados de pruebas modales. ..................................................................... 39 II.1 Introducción.................................................................................................................. 39 II.2 Procedimiento seguido en la Modelación de puentes de FF.CC. empleando SAP2000v16. ............................................................................................................................. 40 II.2.1 Pasos y aspectos importantes para la recopilación de información sobre el puente. .......... 40 II.2.2 Generación del modelo estructural del puente en SAP2000 v16. ...................................... 42 II.3 Procedimiento seguido en la obtención de los parámetros de respuesta dinámica del modelo del puente empleando la interface OAPI SAP2000-MATLAB. ....... 44 II.3.1 Aspectos básicos sobre la interface OAPI SAP2000-MATLAB. ........................................ 45 II.3.2 Lenguaje de programación de MATLAB: variables, funciones y matrices empleadas. ........ 47 II.3.3 Declaración del procedimiento para la obtención de los parámetros modales del modelo del puente empleando la OAPI SAP2000-MATLAB. ......................................................................... 51 II.4 Algoritmo de optimización en MATLAB para la calibración del modelo estructural del puente.............................................................................................................. 53 II.4.1 Declaración de los parámetros que intervienen en la optimización. .................................. 54 II.4.1.1 Función Objetivo a utilizar. ..................................................................................... 55 II.4.1.2 Entrada de los valores obtenidos de los ensayos realizados a la estructura real........ 57 II.4.2 Declaración y explicación de la función de optimización empleada en MATLAB. (Función lsqnonlin). ................................................................................................................................. 57 II.4.3 Procedimiento implementado en MATLAB para la optimización. ...................................... 61 II.4.3.1 Optimización del modelo estructural. ...................................................................... 62 II.4.3.2 Optimización usando interfaz gráfica y programación directa. .................................. 64 II.4.3.2.1 Solución del problema mediante interfaz gráfica (Toolbox optimtool versión 7.2): .. 64 II.4.3.2.2 Solución del problema mediante programación directa: ....................................... 69 II.5 Conclusiones parciales del capítulo: ........................................................................ 74 Capítulo III: Aplicación a un caso de estudio del procedimiento automatizado para la estimación de parámetros estructurales. ..................................................................... 76 III.1 Introducción.................................................................................................................. 76 III.2 Modelación del puente objeto de estudio. ................................................................ 77 III.3 Obtención de los parámetros modales del modelo del puente empleando la OAPI SAP2000-MATLAB. ........................................................................................................ 79 III.4 Algoritmo de optimización en MATLAB para la calibración del modelo estructural del puente objeto de estudio: ............................................................................. 81 III.4.1 Declaración de los parámetros que intervienen en la optimización. .................................. 81 III.4.2 Optimización del modelo estructural. .............................................................................. 83 III.4.3 Métodos de optimización empleados. ............................................................................. 84 III.4.3.1 Solución no lineal por mínimos cuadrados. ............................................................. 84 III.4.3.2 Solución mediante Algoritmos Genéticos. ............................................................... 85 III.5 Obtención y análisis de los resultados. Validación de los modelos calibrados obtenidos. ................................................................................................................................. 86 III.5.1 Aplicaciones de la investigación. Resultados obtenidos. .................................................. 94 III.6 Conclusiones parciales del capítulo. ...................................................................... 100 CONCLUSIONES..................................................................................................................... 102 RECOMENDACIONES ........................................................................................................... 104 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................................... 105 ANEXOS .................................................................................................................................... 108 Anexo I: Programación realizada en MATLAB empleando los comandos OAPI SAP2000 para obtener los parámetros modales del modelo estructural del puente analizado. .. 108 Anexo I.1: Modos de oscilación identificados en el modelo dañado a partir de los cuales se adoptaron los valores medidos..................................................................................................109 Anexo II: Programación realizada en MATLAB empleando los comandos OAPI que permiten designar nuevos materiales según los tramos en que será dividido el modelo para su análisis y sobrescribir las propiedades de estos materiales. ............................ 111 Anexo III: Optimización en la calibración del modelo estructural del puente analizado. .................................................................................................................................................. 115 Anexo III.1: Optimización mediante interfaz gráfica (Toolbox optimtool versión 7.2). Método lsqnonlin. .................................................................................................................................115 Anexo III.2: Optimización mediante interfaz gráfica (Toolbox optimtool versión 7.2). Método Algoritmos Genéticos. ..............................................................................................................119 Anexo III.3: Optimización mediante programación directa. Método lsqnonlin. ...............................123 Anexo III.4: Optimización mediante programación directa. Método Algoritmos Genéticos. ............123 Anexo III.5: Función creada en MATLAB para la optimización por lsqnonlin. ................................124 Anexo III.6: Función creada en MATLAB para la optimización por Algoritmos Genéticos. .............128 Anexo III.7: Script creado en MATLAB para obtener los modelos estructurales calibrados y determinar los residuos. ...........................................................................................................130 Anexo IV: Información de las características del Puente La Ceniza, km: 9.578 del Ferrocarril Central. ................................................................................................................. 134 Anexo IV.1: Levantamiento de las características fundamentales del puente: ..............................134 Anexo IV.2: Características geométricas del puente: ..................................................................135 Anexo IV.3: Levantamiento de los defectos (patologías). ............................................................138 Anexo IV.4: Auscultación del puente (Resultados de los ensayos mecánicos). ............................139 Anexo V: Validación de los modelos calibrados. .............................................................. 139 Anexo VI: Programación en MATLAB de las demás calibraciones realizadas. ............. 141 Anexo VI.1: Optimizaciones por lsqnonlin. .................................................................................141 Anexo VI.2: Optimizaciones por Algoritmos Genéticos................................................................146 Anexo VI.3: Estimación de la reducción de espesores en elementos dañados. Método lsqnonlin. .147 Anexo VI.4: Estimación de la reducción de espesores en elementos dañados. Método Algoritmos Genéticos. ...............................................................................................................................149 Anexo VI.5: Script realizado para obtener los modelos calibrados a partir de la reducción de espesores................................................................................................................................151 INTRODUCCIÓN I INTRODUCCIÓN La calibración de un modelo estructural de una estructura real, es el proceso de estimar o ajustar los parámetros de un modelo mecánico de dicha estructura, minimizando la diferencia entre los valores de la respuesta de la estructura real obtenidos de mediciones experimentales y la respuesta del modelo de la misma. Esto facilita que la toma de decisiones acerca del comportamiento estructural ante situaciones de carga o estado de la estructura que no puedan ser experimentalmente ensayados, esté basada en modelos más acertados en términos de evaluación de cargas, detección de desperfectos y daños estructurales, rehabilitación de estructuras, etc. En el caso de la calibración de modelos de puentes, esta se ha realizado manualmente durante muchos años empleando metodologías tradicionales de prueba - error; en las que a veces no se tienen en cuenta variables determinadas que puedan influir sobre el comportamiento estructural de los mismos. Con el desarrollo computacional alcanzado últimamente se han desarrollado investigaciones (Kangas et al., 2003), (Liu, 2004), (Rodríguez Calderón et al., 2007), (Schlune et al., 2009), (Galvis, 2012), (Sequera Gutiérerz and Solano Rodríguez, 2013), (Andersen, 2013) que utilizan los métodos de estimación de parámetros en modelos estructurales basados en algoritmos que minimizan la diferencia entre la respuesta modelada y la respuesta medida en la estructura real estudiada. En nuestro país existen varios trabajos que pueden considerarse como antecedentes en esta temática. Un primer avance en este sentido se considera el procedimiento de calibración implementado en MATLAB para la estimación del módulo de deformación en puentes de ferrocarril, basándose en los resultados de pruebas de carga estática y dinámicas, que utilizó como rutina para la determinación de la respuesta estática o dinámica del mismo, el Stabil 2.0, toolbox para el análisis por MEF de estructuras, (Gonzáles Pérez, 2015). Además en la investigación (Claro Duménigo, 2015) se abordan métodos para la modelación y el análisis experimental de puentes frente a cargas dinámicas. INTRODUCCIÓN II Por otra parte, el empleo e la OAPI SAP2000-MATLAB para la identificación de parámetros estructurales en el caso de puentes utilizando métodos de optimización es totalmente novedoso en el país, con valor agregado pues evita la necesidad de realizar ensayos destructivos como la toma de muestras de los materiales, examinadas (ensayadas) posteriormente en un laboratorio. Aunque cabe resaltar que en los últimos años se han desarrollado numerosas investigaciones acerca de la optimización estructural a nivel mundial. En general, se puede decir que las técnicas de optimización buscan un conjunto de valores de las variables de diseño, que haga mínima una función objetivo y cumpla a la vez una serie de restricciones que dependen de las mismas variables, (Bacuilima G, 2011). Para este caso la función objetivo adoptada es el vector residual en función de los parámetros de rigidez de la estructura. Este vector está compuesto por los residuos por frecuencias naturales, los residuos por formas modales y los residuos por curvaturas modales. Su sintaxis se programa al final de la función de optimización creada en MATLAB para interactuar con el modelo mecánico del puente en SAP2000 gracias al empleo de la OAPI SAP2000. El procedimiento termina cuando se haya alcanzado un alto grado de correlación entre ambas respuestas, la medida y la modelada. Problema científico ¿Sería posible elaborar un procedimiento automatizado para la estimación de parámetros estructurales (calibración) en modelos de puentes, basado en ensayos modales, que emplee la interface OAPI SAP2000 y los recursos de optimización disponibles actualmente en MATLAB para realizar un pronóstico certero de la respuesta de la estructura real? Esta investigación es aplicable tanto para puentes de ferrocarril como para puentes de carreteras a los que se le hayan realizado ensayos modales. INTRODUCCIÓN III Objeto de estudio Los métodos para la estimación de parámetros estructurales (calibración y validación) de modelos de puentes a los que se les han realizado ensayos modales. Campo de Acción La instrumentación combinada con la modelación mecánica, el análisis estructural de puentes y la actualización de los modelos mecánicos de estos puentes. Hipótesis El procedimiento automatizado para la calibración de estructuras de puentes (implementado en MATLAB) basado en los Métodos de Optimización Estructural permite desarrollar un modelo calibrado en SAP2000 de la estructura del puente objeto de estudio con la misma respuesta que la obtenida en la estructura real, logrando así la estimación correcta de los parámetros estructurales correspondientes al mismo, para la evaluación y diagnóstico de puentes en Cuba. Objetivo general Elaborar un procedimiento automatizado para la estimación de parámetros estructurales de modelos mecánicos (calibración) de puentes, minimizando los residuos entre la respuesta modelada y medida, utilizando la biblioteca de funciones de optimización de MATLAB y la OAPI SAP2000 para ello. Objetivos específicos 1. Evaluar el estado del conocimiento sobre estimación de parámetros estructurales basada en ensayos modales, empleando la OAPI SAP2000 y las potencialidades de MATLAB, así como otros temas afines. 2. Desarrollar un procedimiento automatizado de estimación de parámetros estructurales de modelos mecánicos de puentes, empleando la OAPI SAP2000- MATLAB. 3. Aplicar el procedimiento implementado al menos a un caso de estudio de un puente de ferrocarril, interpretando los resultados obtenidos de forma adecuada. INTRODUCCIÓN IV Preguntas de investigación 1. ¿Cuál es el estado actual del conocimiento sobre métodos empleados para la estimación de parámetros estructurales basada en ensayos modales, para el caso de estructuras en general y puentes en específico? 2. ¿Cómo elaborar un procedimiento automatizado de estimación de parámetros de modelos estructurales (calibración) de puentes, empleando la OAPI SAP2000- MATLAB? 3. ¿Qué conclusiones pueden establecerse después de aplicar el procedimiento implementado al menos a un caso de estudio de un puente de ferrocarril? Tareas científicas 1. Establecer el nivel de los conocimientos actuales sobre el tema del trabajo y sintetizar los aspectos esenciales de los mismos, incluyendo los principales comandos o funciones del toolbox de optimización con que cuenta MATLAB para resolver problemas de optimización lineales y no-lineales, así como los algoritmos genéticos. 2. Redacción del Capítulo I: Estado del conocimiento sobre estimación de parámetros estructurales en modelos de puentes. 3. Formulación completa del problema de estimación de parámetros estructurales en modelos de puentes, que a su vez consiste en: a) Elaboración del algoritmo de interface entre MATLAB y SAP2000 desarrollado en el entorno de programación MATLAB para interactuar con el modelo estructural del puente objeto de estudio en SAP2000 y obtener los parámetros de la respuesta dinámica modelada. b) Elección e implementación de la función objetivo apropiada para ser aplicada a este problema. c) Elección del método de optimización que más se ajuste a este tipo de problema. 4. Redacción del Capítulo II: Procedimiento automatizado para la estimación de parámetros estructurales utilizando la interface OAPI SAP2000 y los recursos de MATLAB, basado en resultados de pruebas modales. INTRODUCCIÓN V 5. Aplicación del procedimiento elaborado al menos a un caso de estudio, donde se obtenga el modelo calibrado. 6. Análisis de los resultados obtenidos. 7. Redacción del capítulo III: Aplicación a un caso de estudio del procedimiento automatizado para la estimación de parámetros estructurales. 8. Formular y redactar las “Conclusiones” y “Recomendaciones”. Novedad científica El empleo de la OAPI SAP2000 para realizar la calibración de puentes en Cuba es totalmente novedoso, pues hasta el momento los investigadores del país efectúan el proceso de calibración de los modelos de forma manual, convirtiéndose en un proceso prolongado y agotador, que muchas veces no garantiza la fiabilidad estructural requerida, es decir, que los resultados obtenidos no sean los más ajustados al comportamiento estructural real de los puentes. Valor metodológico La creación de un procedimiento automatizado para obtener modelos calibrados en SAP2000 a partir del uso de la OAPI SAP2000, empleando técnicas de optimización y el correcto lenguaje de programación en MATLAB reviste enorme valor metodológico, pues da inicio tanto a la impartición de cursos como a futuras investigaciones en aras del mejoramiento y adquisición de nuevos conocimientos en esta naciente rama de la ingeniería civil en el país. Además, significa un acercamiento a los procedimientos y tecnologías de última generación que están teniendo un enorme auge en muchos países del mundo en la actualidad. Valor práctico El algoritmo desarrollado permite que el procedimiento de estimación de parámetros estructurales en puentes sometido a ensayos modales sea:  La base para realizar la calibración de los modelos de dichos puentes.  Un procedimiento automatizado, ágil en la evaluación y diagnóstico de los mismos, mejorando la toma de decisiones. INTRODUCCIÓN VI  Confiable, disminuyéndose así el grado de incertidumbre. (Esto permite una aproximación más cercana a la realidad).  Asequible a los especialistas de la ENIA y otras empresas interesadas. Relevancia social Como es sabido los puentes poseen enorme importancia pues son los conectores de las vías terrestres por excelencia. En el caso de la red ferroviaria nacional, los puentes de acero en su mayoría alcanzan los 100 o más años de explotación y los de hormigón armado más recientes superan los 30 años. Unido a esto se encuentra la falta de reparaciones y mantenimientos. De ahí que su evaluación y diagnóstico sea imprescindible a la hora de determinar su comportamiento bajo la acción de diversas cargas. Por lo tanto, si el presente trabajo es un facilitador de este proceso se convierte inmediatamente en un paso obligado en aras del perfeccionamiento de los métodos utilizados hasta el momento por los especialistas en Cuba. Organización del informe El presente informe posee la siguiente estructura:  Resumen  Abstract  Introducción  Capítulo I: Estado del conocimiento sobre estimación de parámetros estructurales en modelos de puentes.  Capítulo II: Procedimiento automatizado para la estimación de parámetros estructurales utilizando la interface OAPI SAP2000 y los recursos de MATLAB, basado en resultados de pruebas modales.  Capítulo III: Aplicación a un caso de estudio del procedimiento automatizado para la estimación de parámetros estructurales.  Conclusiones  Recomendaciones  Referencias Bibliográficas CAPÍTULO I 1 Capítulo I: Estado del conocimiento sobre estimación de parámetros estructurales en modelos de puentes. En el siguiente capítulo se abordarán un conjunto de temas afines a la investigación que se lleva a cabo sobre la estimación de parámetros estructurales en puentes. Se explican los principales métodos empleados, procedimientos de pruebas, tipos de ensayos, instrumentación implementada, así como una descripción de los softwares y sus utilidades en el proceso de calibración o actualización de los modelos mecánicos de los puentes, así como la validación de los mismos. I.1 Introducción. La estimación de parámetros estructurales en puentes basada en ensayos modales permite realizar la calibración de modelos estructurales (también conocida como “Model Updating”) y la validación de los mismos. Unido a esto se encuentra el reto de desarrollar nuevos, más precisos e inevitablemente más sofisticados procedimientos para las satisfacer las necesidades en esta rama de la Ingeniería Civil en la actualidad, debido al incremento potencial de la computación y la consiguiente necesidad de adoptar herramientas y recursos de tecnología de punta. Por otra parte, no se puede descuidar la necesidad de simplificar la aplicación de los procedimientos disponibles, haciendo uso efectivo de los métodos computacionales ya establecidos, pues esto puede mejorar en gran medida la productividad, la calidad y el rendimiento a la hora de realizar la difícil tarea de calibración de modelos mecánicos de puentes. En este sentido, la herramienta computacional OAPI SAP2000, permite ampliar significativamente el uso de métodos de optimización incorporadas a MATLAB para realizar dicho proceso de calibración más allá del marco de análisis estructural establecido actualmente (Sextos and Balafas, 2011). El procedimiento de identificación de parámetros estructurales en puentes sometidos a ensayos modales debe realizarse de forma precisa y eficaz, por lo que se hace necesario poseer resultados enteramente confiables obtenidos de dichos ensayos. La calidad de estos resultados depende tanto del factor humano, ambiental como tecnológico, requiriéndose entonces del correspondiente soporte material y logístico CAPÍTULO I 2 para ello. Por consiguiente, en la medición experimental de vibraciones en puentes se debe prestar enorme importancia al suministro de una fuerza de excitación conocida proporcional al tamaño de cada puente, así como al control sobre los factores ambientales y sobre los procedimientos experimentales realizados, que introducen ruido en la medición. Generalmente cualquier técnica experimental para realizar dicha medición considera los siguientes factores (Carrión Viramontes et al., 1999): 1) Los métodos empleados para la excitación de la estructura. 2) Los transductores usados para medir la vibración. 3) Los procedimientos de prueba manejados. Una vez procesadas las señales (Monroy Rincón and Arrubla Tovar, 2013) obtenidas tras la experimentación y aplicados varios métodos y funciones matemáticas deben obtenerse los parámetros modales reales de la estructura objeto de estudio, tales como las frecuencias de oscilación natural, los modos principales de oscilaciones libres o forzadas y el amortiguamiento. A partir de los cuales se pasa a determinar la respuesta real de la estructura en fuerzas o desplazamientos y posteriormente a la identificación de los demás parámetros estructurales, tales como la rigidez (E.I), el módulo de elasticidad (E) o de rigidez al cortante (G), el coeficiente de Poisson (μ) y la resistencia específica del hormigón (f´c) en el caso de elementos estructurales de hormigón armado o el módulo de Young (módulo de elasticidad o de deformación), el límite de fluencia (Fy), la resistencia última (Fu) para el caso de elementos metálicos, o la rigidez de los apoyos. A partir de estos parámetros estructurales obtenidos se hace necesario la realización del modelo mecánico del puente objeto de estudio empleando un software potente para ello, este puede ser SAP2000, ABAQUS o ANSYS, que a su vez utilizan el MEF. Este modelo estará implementado desde MATLAB para realizar su calibración empleando las técnicas de optimización disponibles en su toolbox. Por lo tanto, la obtención del modelo calibrado facilita que la toma de decisiones acerca del comportamiento estructural ante situaciones de carga o estado de la estructura que no puedan ser CAPÍTULO I 3 experimentalmente ensayados, esté basada en modelos más acertados en términos de evaluación de cargas, detección de desperfectos y daños estructurales, rehabilitación de estructuras, etc. I.2 Métodos para la excitación de la estructura. Los métodos experimentales para la evaluación de la respuesta dinámica de los puentes involucran varios aspectos, los cuales atienden desde el tipo de excitación hasta la manera en que los resultados son analizados. Los métodos de excitación de la vibración de los puentes comprenden desde las condiciones ambientales y de uso de la infraestructura, hasta el empleo de elementos específicamente diseñados para ejecutar la excitación del puente bajo condiciones controladas. De entre estos métodos de excitación, los vibradores son los que de manera más confiable pueden provocar la vibración del puente. La selección del tipo de excitación depende de las disponibilidades por cuanto al cierre de la estructura y de los requerimientos de instrumentación y de manejo de información (Carrión Viramontes et al., 1999). Dentro de las técnicas empleadas para efectuar la excitación de vibraciones en puentes son (Carrión Viramontes et al., 1999): a. Efectos ambientales. b. Desplazamiento. c. Liberación de cargas. d. Vibradores o Shakers. e. Impacto. f. Múltiple (Claro Duménigo, 2015). I.3 Instrumentación de Puentes. La instrumentación de la estructura consiste, básicamente, en la colocación en puntos prefijados en el proyecto de prueba de carga, de aparatos de medida de flechas, deformaciones, giros, aceleraciones, etcétera (Rodríguez Castellanos, 2010). Estos aparatos electrónicos y eléctricos para su uso en mediciones, a partir de las cuales realizan el monitoreo y control de procesos, poseen sensores, acondicionadores (amplificador inmune a determinado ruido), cuando la información de la señal no está CAPÍTULO I 4 en su nivel de tensión se pueden necesitar de moduladores, filtros o convertidores corriente-tensión. Un ejemplo clásico de acondicionador es el puente de Wheatstone, que se utiliza para medir resistencias desconocidas mediante el equilibrio de los brazos del puente. Estos están constituidos por cuatro resistencias que forman un circuito cerrado, siendo una de ellas la resistencia de bajas medidas (Rodríguez Pozueta). Para un procesado de la señal eficaz hay que convertir la señal en digital. La instrumentación también estudia la conversión analógica-digital y viceversa. Una de las tendencias actuales se conoce como instrumentación virtual en la que se emplea un procesador (generalmente una PC) que ejecute un programa específico y capaz de comunicarse con los dispositivos para configurarlos y leer sus medidas. I.4 Equipamiento utilizado en la instrumentación de estructuras. Son muchos los equipos que pueden utilizarse para realizar la instrumentación de puentes, a continuación, se mencionan los más utilizados en los últimos tiempos. Cabe destacar que un transductor no es más que un dispositivo que recibe la potencia de un sistema mecánico, electromagnético o acústico y la transmite a otro, generalmente en forma distinta (S.A., 2011). I.4.1 Transductores para Medición de Vibraciones. Para la medición de la vibración de estructuras se han empleado diferentes tipos de transductores, a partir de principios de operación diferentes. Sin embargo, los que han resultado ser más efectivos son los acelerómetros, las galgas extensométricas y los medidores de desplazamiento y velocidad, siendo los primeros los de mayor uso actualmente. En las siguientes secciones se presenta una descripción y análisis de cada uno de estos (Carrión Viramontes et al., 1999). I.4.1.1 Acelerómetros. Un acelerómetro es un transductor destinado a medir las aceleraciones. Pueden medir las aceleraciones en un único eje (conocidos como acelerómetros uniaxiales) o en varios ejes a la vez (triaxiales). En su interior pueden encontrarse diversos mecanismos CAPÍTULO I 5 que condicionan la precisión y nitidez que consiguen en las medidas (Losa Miranda, 2015). Acelerómetros piezoeléctricos Se trata sin duda del acelerómetro más popular y el más empleado para la medida de las aceleraciones en los análisis modales. El principio físico básico de su funcionamiento consiste en el uso de un pequeño cristal piezoeléctrico (tanto natural como artificial) que genera una corriente eléctrica tras aplicársele una fuerza. La figura 1 muestra la sección de un acelerómetro piezoeléctrico típico (Losa Miranda, 2015). Figura 1. Sección de un acelerómetro piezoeléctrico uniaxial (Losa Miranda, 2015). Acelerómetros piezorresistivos y capacitivos. Los numerosos avances en microelectrónica, han propiciado la creación de la tecnología MEMS (acrónimo anglosajón de Sistemas Micro Electromecánicos). En un acelerómetro MEMS piezorresistivo (representado en la figura 2), los elementos flexibles de semiconductor que soportan la masa sísmica, forman parte del puente de Wheatstone. Como estos elementos se deforman, el puente de Wheatstone se desequilibra, y la diferencia de potencial a la salida (proporcional a la deformación aplicada) es una medida de la aceleración (Losa Miranda, 2015). CAPÍTULO I 6 Figura 2. Sección de un acelerómetro piezorresistivo uniaxial (Losa Miranda, 2015). Acelerómetros capacitivos. En un acelerómetro capacitivo (representado en la figura 3), los elementos de medida forman un condensador. La masa sísmica está sujeta por elementos flexibles entre dos electrodos. Cuando la masa sísmica se mueve en torno a su posición de equilibrio, el puente capacitivo se desequilibra. La diferencia de potencial de salida se mide de manera similar al acelerómetro piezorresistivo. La ventaja de estos acelerómetros es su capacidad de respuesta a bajas frecuencias (Losa Miranda, 2015). Figura 3. Sección de un acelerómetro capacitivo uniaxial (Losa Miranda, 2015). I.4.1.2 Galgas extensométricas. Las galgas extensométricas (ver figura 4.) son pequeños sensores capaces de detectar variaciones longitudinales extremadamente pequeñas y convertirlas en variaciones de resistencia medibles. Estas se usan en la industria para medir con precisión fuerzas o pesos muy grandes (Ruiz Rojas, 2005). CAPÍTULO I 7 Figura 4. Galga extensométrica (Ruiz Rojas, 2005). Las galgas extensométricas o strain gages (SG, por sus siglas en inglés), miden microdeformaciones puntuales del elemento estructural donde se instrumentan. Por su naturaleza, son evaluaciones particularmente localizadas y no necesariamente reflejan el comportamiento global del elemento o de la estructura que se está estudiando (Carrión Viramontes et al., 1999). En estos tipos de instrumentos, a partir de las deformaciones medidas se infieren los esfuerzos dinámicos. Al respecto, si la selección del punto es adecuada, las mediciones pueden ser empleadas para el análisis modal o para la evaluación del comportamiento vibratorio de las estructuras (Chan and O´Conner, 1990). Galgas por capacitancia: Las galgas por capacitancia son de nuevo desarrollo y se emplean principalmente como una alternativa a los SG convencionales para ser usados en altas temperaturas, más allá incluso del límite del metal de los SG convencionales. En la actualidad existen tres versiones de estos: la inglesa, la norte americana y la alemana (Gonzalez Martinez, 2007). Existen dos procedimientos para medir el desequilibrio que se produce tras la deformación de las galgas, basados en el puente de Wheatstone como principio fundamental. Estos son método directo y el método de cero.(Alonso, 1989). Otros tipos de transductores son:  Transductores de desplazamiento (Carrión Viramontes et al., 1999). CAPÍTULO I 8  Transductores de velocidad (Carrión Viramontes et al., 1999).  Transductores magnéticos (Alonso, 1989).  Sensores Láser (Alonso, 1989). I.4.1.3 Georadar IBIS-FS: El Georadar IBIS-FS presenta una solución totalmente novedosa en el campo de aplicación del monitoreo de vibraciones y oscilaciones en las estructuras, con muchas ventajas sobre los demás instrumentos tradicionales de monitoreo estático y dinámico (IDS Ingegneria Dei Sistemi, 2013):  Detector remoto en una distancia de hasta 1 km.  Exactitud del desplazamiento hasta 1/100 mm.  Un levantamiento unidimensional simultáneo de todo desplazamiento detectado en la estructura en tiempo real.  Instalación y operación rápida.  El mismo instrumento puede ser usado para el monitoreo estático y dinámico.  Muestreo de las vibraciones de la estructura hasta 100 Hz.  Opera día y noche, en cualquier condición del clima. En el caso de puentes se obtienen los siguientes resultados tras realizar el monitoreo dinámico de los mismos. Los resultados experimentales consisten en (IDS Ingegneria Dei Sistemi, 2013):  Visualización de los desplazamientos en puntos específicos del puente.  Identificación de las frecuencias de resonancia de la estructura.  Identificación de las formas modales. I.5 Procedimientos de prueba. Los requisitos descritos más adelante, por razones obvias, no se aplican para excitaciones ambientales, sin embargo, sí son aplicables para aquellas que se dan por desplazamiento, liberación de cargas, impacto o mediante vibradores. Para que un estudio de vibraciones en un puente pueda ser calificado como exitoso, debe incluir mediciones a varias frecuencias, y se debe verificar la respuesta del puente CAPÍTULO I 9 en un amplio rango de interés. Los aspectos más importantes que se deben revisar son (Carrión Viramontes et al., 1999): Linealidad: Conocer en el puente estudiado el comportamiento de respuesta con respecto a la amplitud de excitación y determinar el grado de proporcionalidad que tiene. Repetibilidad: Para cada condición de excitación del puente y combinación de mediciones, deben realizarse varias pruebas las cuales permitan verificar el grado de repetibilidad que la prueba tiene. Reciprocidad: Se puede verificar a través del análisis de las funciones de transferencia entre dos puntos A y B, primero excitando el punto A y midiendo en el B y viceversa. El resultado de las funciones de transferencia debe ser el mismo. Sensibilidad a los Cambios en las Condiciones de Prueba: Al diseñar un procedimiento de prueba se debe buscar que no existan cambios en las condiciones ambientales que afecten sensiblemente al comportamiento dinámico del puente. En caso de que existan vibraciones y afectaciones a las mediciones, las condiciones ambientales deberán incluirse en el análisis. Número de Puntos a Instrumentar: Para el análisis modal de puentes, en el que la respuesta dinámica de determinados modos de oscilación es establecida, es necesario tener un conjunto de puntos identificados sobre el puente, en los cuales sea medida la respuesta del puente ante la aplicación de fuerzas de excitación, mismas que serán aplicadas en un subconjunto de dichos puntos identificados. Al respecto, y para determinar el número de puntos instrumentados (N), que se requieren para medir hasta el enésimo modo de vibración, se utiliza la siguiente fórmula: N≥2n-1 (1) De acuerdo con esta fórmula (1), para medir hasta el cuarto modo de vibración longitudinal de un puente se requieren 7 puntos distribuidos a lo largo del mismo. Si se desea medir el tercer modo de vibración transversal se requieren 5 puntos distribuidos a lo ancho del puente. Ahora bien, si se quiere medir simultáneamente el cuarto modo CAPÍTULO I 10 longitudinal y el tercer modo transversal, se requiere trazar una malla sobre el puente de 5x7 para instrumentar los 35 puntos que se requieren. I.6 Tipos de Ensayos de carga no destructivos en el puente. Como es conocido un ensayo no destructivo no implica daño alguno o prácticamente nulo sobre la estructura o parte de ella que ha sido instrumentada y la afectación que reciben las propiedades físicas, químicas, mecánicas de los materiales componentes o las dimensiones no son de carácter permanente. Por lo tanto, en el caso de la aplicación de cargas a los puentes como un tipo de ensayo no destructivo debe realizarse con extrema cautela y cuidando que el procedimiento sea el correcto para obtener resultados confiables. Una explicación de estos tipos de ensayos realizados a puentes del ferrocarril nacional se encuentra en (Rodríguez Castellanos, 2014). En el diagrama 1 se mencionan los mismos. Diagrama 1: Tipos de Ensayos de carga no destructivos en el puente. I.7 Métodos experimentales para la medición de vibraciones en puentes. Los análisis modales, tratan de extraer las propiedades modales de una estructura (formas modales, frecuencias a las que se dan y factores de amortiguamiento) mediante la toma de medidas en la respuesta dinámica de la estructura a acciones externas. Estas acciones pueden ser inducidas, conociendo perfectamente las características de la excitación (EMA), o aleatorias, sin saber exactamente la magnitud de las acciones (OMA) (Losa Miranda, 2015). E n s a y o s d e c a rg a n o d e s tr u c ti v o s Ensayos de prueba Ensayos de diagnóstico Periodicidad de las pruebas de carga no destructivas Pruebas de carga según edad Pruebas de carga dinámicas CAPÍTULO I 11 I.7.1 Análisis Modal Experimental (EMA). El Análisis Modal Experimental busca la extracción de las propiedades modales de una estructura mediante las medidas de la respuesta dinámica (output) a una fuerza de excitación conocida (input). Este análisis requiere de la utilización de varios componentes para la toma de datos (Losa Miranda, 2015): (Ver figura 5).  Mecanismos de excitación.  Sensores de medida.  Aparatos de adquisición y procesado de datos. La elección del mecanismo de excitación viene condicionada por determinados factores del estudio como el tipo de excitación que se pretende implementar en la estructura o las propiedades físicas de la estructura. Este aparato (conocido habitualmente como “shaker”) suele tratarse de un vibrador electromagnético, dirigido mediante una señal de accionamiento amplificada. Las señales de excitación, en estos casos, se producen mediante un generador de funciones, ya que permite elegir, de una gran variedad, la que mejor encaje en las características del análisis (Losa Miranda, 2015). Aunque existen otros métodos de excitación controlada, como el martillo de excitación, en la práctica los shakers con accionamiento electromagnético o electrohidráulico son los más ampliamente empleados, por la facilidad de modular sus oscilaciones (Losa Miranda, 2015). En cuanto al sistema de captación de las vibraciones, está formado básicamente por transductores. Existe una gran variedad de sensores, aunque los más empleados para los análisis modales experimentales son los sensores de aceleración (acelerómetros) (Losa Miranda, 2015). CAPÍTULO I 12 Figura 5: Esquema básico de los elementos necesarios para la realización de un EMA (Losa Miranda, 2015). I.7.2 Análisis Modal Operacional (OMA). El análisis modal operacional se plantea como una alternativa al EMA. Desarrollado principalmente por la comunidad de ingenieros civiles, trata de dar solución a las dificultades que plantea, en numerosas ocasiones, inducir una excitación artificial a estructuras de grandes dimensiones. Las excitaciones se producen de manera arbitraria por el uso habitual de la estructura (viento, tráfico,…) y, mediante la toma de datos de la respuesta dinámica, pueden extraerse las características modales de la estructura (formas modales, frecuencias a las que se dan y factores de amortiguamiento). Al igual que en el EMA, se requiere de diversos aparatos para medir las respuestas de la estructura. Puesto que es necesario inducir la excitación, se prescinde del “shaker”, teniendo que emplear:  Sensores de medida  Aparatos de adquisición de datos La figura 6 muestra el esquema de un montaje para la realización de un OMA (Losa Miranda, 2015). CAPÍTULO I 13 Figura 6: Esquema básico de los elementos necesarios para la realización de un OMA (Losa Miranda, 2015). I.7.3 Otros métodos empleados para realizar el análisis dinámico en puentes. El análisis dinámico de estructuras se refiere al análisis de las oscilaciones o vibraciones que puede sufrir una estructura alrededor de su posición de equilibrio. El análisis dinámico es importante porque ese movimiento oscilatorio produce una modificación de las tensiones y deformaciones en el tiempo, incluyendo la posibilidad de ocurrencia de resonancia (Kiseliov, 1983, Ramírez Díaz et al., 2015). Por lo tanto, es necesario conocer los demás métodos experimentales que son aplicados al estudio de las vibraciones en puentes. A continuación se brinda una clasificación general de los mismos: a) Métodos para el análisis modal.(Reynders and De Roeck, 2014), (Losa Miranda, 2015). b) Métodos de análisis de sensibilidad.(Carrión Viramontes et al., 1999). c) Métodos por simulación.(Carrión Viramontes et al., 1999). d) Métodos de análisis por wavelets. (Carrión Viramontes et al., 1999). I.8 Procesamiento de las señales obtenidas en ensayos modales. El procesamiento digital de las señales es una herramienta clave a la hora de realizar un análisis modal de un sistema concreto. El conjunto de las señales pueden clasificarse, en general, en estacionarias y no estacionarias (Losa Miranda, 2015). Las señales estacionarias son aquéllas cuyas propiedades promedio no varían a lo largo del tiempo, pudiendo ser, a su vez, determinísticas o aleatorias. La naturaleza de las primeras permite representarlas matemáticamente y de manera explícita, de tal CAPÍTULO I 14 manera que, sus posibles valores futuros, puedan ser predichos. A este grupo pertenecen, por ejemplo, las señales periódicas. Sin embargo, el valor de las aleatorias depende del instante en el que se encuentren, resultando casi imposible prever con exactitud sus valores futuros. Las señales no estacionarias pueden dividirse en continuas o transitorias. Estas últimas pueden definirse como señales que comienzan en cero en el período de observación (Losa Miranda, 2015). Puesto que la finalidad del análisis de las señales es tratar de obtener la máxima información de ellas, resulta óptimo contar con la capacidad de estudiarlas en sus distintos dominios. Para extraer su contenido en frecuencias, resulta más sencillo analizar las señales en el dominio de las frecuencias. Se debe tener en cuenta que los registros se realizan en el dominio del tiempo, y por tanto, se debe acudir a la transformada (e inversa) de Fourier, ya que se trata de una herramienta que permite transformar de manera sencilla una señal en el tiempo a una señal en frecuencia y viceversa (Losa Miranda, 2015). Las funciones trigonométricas son funciones periódicas se utilizan comúnmente y son relativamente fáciles de trabajar ya que tienen la propiedad de ortogonalidad. Debido a estas ventajas, es recomendable expandir la función periódica en funciones trigonométricas, donde esa expansión se conoce como serie de Fourier. El análisis de Fourier es la clave para el análisis de las señales de vibración. En caso de que las ecuaciones obtenidas para representar el sistema sean ecuaciones lineales se puede aplicar el principio de superposición que expresa que la suma de las soluciones obtenidas es también una solución. Además, si el sistema está compuesto de n modos vibración y n frecuencias naturales, se debe de considerar la suma de n soluciones armónicas. Esto se obtiene mediante una solución de la Serie de Fourier. (Ver ecuación 1) (Claro Duménigo, 2015). 𝑓(𝑥) = 1 2 𝑎0 + ∑[𝑎𝑛 cos(𝜔𝑛𝑡) + 𝑏𝑛 sin(𝜔𝑛𝑡)] ∞ 𝑛=1 (2) donde 𝜔𝑛 se conoce como la frecuencia, an(n = 1; 2; :) y bn(n = 1; 2; :) son conocidos como los coeficientes de Fourier de la ecuación f(x). CAPÍTULO I 15 De esta manera, por medio de una serie de Fourier, se puede determinar que un movimiento periódico de vibración está formado por un número de MAS (Movimiento Armónico Simple) de diferentes amplitudes y frecuencias. Bajo ciertas circunstancias las series de Fourier se pueden simplificar. Esto se da cuando se tiene una función periódica par (ecuación 3) y otra impar (ecuación 4) que satisfagan ciertas relaciones de simetría, entonces la serie de Fourier puede no contener cualquiera de los dos términos. 𝑓(𝑡) = 𝑓(−𝑡) (3) 𝑓(𝑡) = −𝑓(−𝑡) (4) Tomando en consideración lo anterior, las funciones periódicas se pueden expandir a una serie de senos de Fourier (ecuación 5). 𝑓(𝑥) = 1 2 𝑎0 + ∑[𝑏𝑛 sin(𝜔𝑛𝑡)] ∞ 𝑛=1 (5) I.8.1 Errores de medición. En cualquier proceso de análisis digital deben tenerse en cuenta los diversos errores que pueden llegar a darse. En el análisis digital de señales, las sobrecargas, el ruido digital, los errores de cuantificación o las limitaciones del rango dinámico son problemas bien conocidos por los expertos. Sin embargo, existen dos especialmente importantes y que serán expuestos a continuación: el aliasing y el leakage (Losa Miranda, 2015). I.8.1.1 Aliasing. El aliasing ocurre cuando se trata de digitalizar una señal analógica. La existencia de componentes de alta frecuencia en una señal puede ocasionar errores de amplitud y frecuencia en el muestreo. Si la mayor frecuencia perteneciente a una señal no cumple el teorema de Shannon (fmax≤fs/2), aquellas frecuencias mayores que fs/2 aparecerán como frecuencias menores a fs/2. La figura 7 ejemplifica el fenómeno del aliasing. En ella se representa una función senoidal con frecuencia de 5 Hz, siendo muestreada mediante una a 1 Hz (Losa Miranda, 2015). CAPÍTULO I 16 Figura 7. Aliasing. Función sinusoidal a 5Hz muestreado a 1Hz.(Losa Miranda, 2015) Este error de medición puede evitarse eliminando todos los componentes con frecuencias superiores a fs/2. Esto es posible con una señal de excitación apropiada, aunque se logra generalmente empleando un filtro pasa bajos. Puesto que es imposible eliminar todas las frecuencias altas a 0 sin influenciar en las bajas, los filtros se fijan normalmente a un 40% de fs (Losa Miranda, 2015). I.8.1.2 Leakage. La adquisición de los datos debe realizarse con un período de observación finito T, y por tanto, su transformada discreta de Fourier asume que la señal es periódica con período T. Si esta condición no se cumple, se produce el error de leakage. La figura 7.1 muestra la representación de una señal tipo coseno cuando es periódica en T y cuando no lo es. En el segundo caso, el espectro discreto no coincide con el real. El error en la hipótesis de periodicidad produce errores importantes de amplitud y frecuencia (Losa Miranda, 2015). CAPÍTULO I 17 Figura 7.1.Hipótesis de periodicidad y leakage.(Losa Miranda, 2015) La única solución a este error es asegurarse de que la señal es periódica o se observa completamente en el periodo de adquisición. En sistemas perfectamente lineales se puede lograr excitarlos con una señal periódica en el intervalo de tiempo considerado. Aumentar el tiempo de adquisición, es decir, aumentar la resolución de frecuencias, ayuda a mejorar la periodicidad de la señal (Losa Miranda, 2015). I.9 Extracción de parámetros modales. En este punto se analizan diversas etapas de análisis que deben llevarse a cabo para conseguir el objetivo de construir un modelo. Una mayor parte de este análisis consiste en ajustar una curva teórica para cada función de respuesta en frecuencia medida. Se describirán diversos procedimientos disponibles para conseguir dicha curva, pero prácticamente todos se basan en el mismo fin: encontrar los coeficientes en la expresión teórica para obtener una curva lo más parecida posible a la medida experimentalmente (Anónimo, 2015). Los distintos métodos se clasifican atendiendo al dominio de definición de trabajo en: o Métodos en el dominio de la frecuencia (FRF). o Métodos en el dominio del tiempo (IRF). La implementación en el dominio del tiempo está normalmente mejor condicionada que las del dominio en frecuencia. Una de las razones es que evitan la mayoría de los problemas de procesado de señal, como son el leakage o el aliasing. Sin embargo, si las condiciones de medida son ruidosas, el promediado es más fácil y eficiente en el dominio de la frecuencia. Además, si el efecto de los modos fuera de la banda de medida es importante, los métodos en el dominio de la frecuencia tienen mejor CAPÍTULO I 18 comportamiento. Como regla general se puede decir que si el amortiguamiento es inferior al 5%, son preferibles los métodos basados en el dominio del tiempo. Si superan el 3% los de frecuencia. Luego, es apropiado considerar el rango de frecuencia que cada análisis individual realiza (Anónimo, 2015):  Métodos SDOF (Single Degree of Freedom o un solo grado de libertad).  Métodos MDOF (Multi Degrees of Freedom o varios grados de libertad). Si por último, se piensa en los diferentes grupos de FRF que se pueden generar, se puede tener: SISO (Single-input, Single-output), SIMO (Single-input, Multi-output) medida en distintos puntos con un único punto de excitación, y los MIMO (Multi -input, Multi-output) donde diversos puntos sirven para medir la respuesta siendo excitada la estructura en diversos puntos. Teniendo esto presente, la última clasificación que se puede hacer atendiendo al número de curvas que se analizan a la vez (Anónimo, 2015):  Single-FRF.  Multi-FRF. En la siguiente tabla 1 se muestran algunos de los métodos más conocidos clasificados según sea SDOF o MDOF. Estos métodos y muchos otros se explican en (He and Fang Fu, 2001) además de todo lo referente al análisis modal. Grados de libertad Método Dominio Peak Peaking Frecuencia SDOF Mode Picking Frecuencia Circle Fit Frecuencia MDOF LSCE Tiempo Tabla 1. Clasificación de métodos de extracción de parámetros.(Anónimo, 2015) CAPÍTULO I 19 I.9.1 Validación. La validación es el último paso del proceso de análisis modal experimental. La finalidad de esta fase es verificar los resultados del paso anterior (estimación de los parámetros modales). Se concreta en una serie de herramientas para evaluar la calidad del modelo modal estimado. Fases en el proceso de validación (Anónimo, 2015): 1. Es intuitiva, sin requisito de herramientas matemáticas. Se trata de una inspección visual, de los modos de vibración y comparando las frecuencias naturales con los estimados en el problema numérico. 2. Requiere de ciertas herramientas matemáticas para cuantificar la calidad del modelo estimado, como el MAC (Model Assurance Criterion), participación modal, reciprocidad, complejidad del modo, etc. Algunos de estos indicadores de calidad se explican en (Losa Miranda, 2015). 3. Se realiza una validación implícita, donde el modelo se usa para análisis de sensibilidad, prediciendo el efecto de cambios en la estructura, actualizando de esta forma el modelo de elementos finitos que se haya generado. I.10 Modelación de Puentes. Modelar estructuralmente significa idealizar una estructura por medio de un modelo teórico factible de ser analizado con los procedimientos de cálculo disponibles. A partir del conocimiento de la Modelación Mecánica de las Estructuras se puede pronosticar el comportamiento que debe esperarse de una estructura. Para obtener el Modelo mecánico o Modelo analítico de la estructura real, se recomienda hacer un análisis integrado de las siguientes invariantes (Figueroa Castellón and Pino Rodríguez, 2010). 1- Modelación de la forma o modelo geométrico. 2- Modelo del comportamiento de los materiales. 3- Modelo de las acciones impuestas. 4- Modelo de los apoyos y enlaces. 5- Masa. CAPÍTULO I 20 Se hace necesario comentar que existe un rol indisoluble entre simulación y experimentación, pues los modelos deben ser calibrados a partir de la respuesta física de la estructura obtenida en el ensayo real, cuantificada a partir de los métodos de instrumentación. La validación a través de la experimentación es un elemento importante, teniendo en cuenta que los métodos numéricos son aproximados y no están exentos de errores que deben ser minimizados (Recarey, 1999). Dar solución a un problema real a través de la modelación es un proceso que transita por varias etapas, lo cual aparece esquematizado en la figura 8. Figura 8. Etapas de la modelación. Un aspecto fundamental tratado en (Bonilla Rocha, 2008) son los métodos de solución empleados en la modelación, pues constituyen uno de los aspectos más controversiales a la hora de enfrentar un problema, estos pueden ser analíticos o numéricos. Pero debido al creciente desarrollo informático se han creado importantes herramientas computacionales que se encuentran sobre la base de estos métodos numéricos y aplicables principalmente al análisis de problemas de tensión-deformación de sólidos. Una vez que se ha identificado el modelo y se ha programado, se necesita aplicarlo al problema concreto objeto de estudio. Para ello se necesita en primer lugar obtener los valores de los parámetros que utiliza el modelo estos pueden medirse directamente en el campo (sería la manera de proceder en un modelo físico) u obtenerse utilizando las técnicas de optimización que a partir de unos valores conocidos de las variables de entrada produzcan los correspondientes resultados en las variables de estado y de salida (sería la manera de proceder en los modelos empíricos) (Anónimo, 2010). CAPÍTULO I 21 Para realizar la modelación, análisis y diseño de puentes en la actualidad se cuenta con numerosos softwares muy potentes, dentro de estos están:  SAP2000  CSi Bridge  ABAQUS  ANSYS La modelación en estos programas se hace empleando el MEF (Método de Elementos Finitos), que a su vez es un método de solución de problemas ingenieriles por aproximación, en donde la región de integración que generalmente es continua, se discretiza, de forma que el elemento continuo se divide en un número finito de partes, cuyo comportamiento se especifica mediante un número finito de parámetros asociados a ciertos puntos característicos denominados nodos. La solución del sistema completo, en el que se involucran las ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad de desplazamientos, las restricciones de los apoyos y constricciones, sigue entonces las reglas de los problemas discretos. El sistema completo se forma por ensamblaje de los elementos. Este método, por tanto, se basa en transformar un cuerpo de naturaleza continua en un modelo discreto aproximado, esta transformación se denomina discretización. El conocimiento de lo que sucede en el interior de este modelo de cuerpo aproximado, se obtiene mediante la interpolación de los valores conocidos en los nodos. Es por tanto una aproximación de los valores de una función a partir del conocimiento de un número determinado y finito de puntos (Ramírez Díaz et al., 2015). I.10.1 Validación y verificación del modelo. Validación es el proceso de comprobar que los resultados aportados por el modelo para las variables de salida y de estado no son muy diferentes a los medidos en la realidad. Existen diferentes índices que permiten cuantificar el grado de ajuste entre los datos medidos y los resultados del modelo (Anónimo, 2010). Coeficiente de determinación r2, es decir el cuadrado del coeficiente de correlación: CAPÍTULO I 22 𝑟2 = 𝑐𝑜𝑣(𝑜, 𝑚)2 𝑠𝑑(𝑜)𝑠𝑑(𝑚) (6) donde cov(o,m) es la covarianza entre los valores observados y los devueltos por el modelo, sd(o) la desviación típica de los valores observados y sd(m) la desviación típica de los resultados del modelo (Anónimo, 2010). Es el más utilizado, oscila entre 0 y 1 y representa el porcentaje de varianza en los datos observados explicado por el modelo. El problema de este índice es que es insensible a desviaciones constantes o proporcionales, es decir que si se cumple que mi = A + Boi, r2 será igual a 1 haciendo creer que el modelo responde perfectamente a la realidad. Otro problema es que es muy sensible a los valores extremos que harán crecer el índice dando de nuevo una falsa apariencia de buen ajuste (Anónimo, 2010). RMSE/MAE, el cociente entre el error cuadrático medio y el error absoluto medio permite determinar hasta qué punto la existencia de valores extremos está afectando al modelo (Anónimo, 2010). 𝑅𝑀𝑆𝐸 𝑀𝐴𝐸 = √∑ (𝑜𝑖 − 𝑚𝑖)2𝑛 𝑖=1 𝑛 ∑ |𝑜𝑖 − 𝑚𝑖| 𝑛 𝑖=1 𝑛 (7) I.10.1.1 Errores en la modelación. Es necesario comprobar que el modelo se comporte de manera adecuada y los valores obtenidos por el modelo para las variables de estado y de salida son similares a los medidos directamente. Lo más habitual es utilizar procedimientos estadísticos basados en las magnitudes de los errores. Error es la diferencia entre el valor estimado de una variable �̂� y el valor, medido directamente o no, que se considera correcto (x) (Anónimo, 2010): 𝜺𝒙 = |𝑥 − �̂�| |𝑥| (8) Suele utilizarse el siguiente estimador del error medio: CAPÍTULO I 23 𝐸 = √∑ (𝑚𝑜𝑑 − 𝑚𝑒𝑑)2𝑁 𝑖=1 𝑚𝑜𝑑 𝑁 (8.1) 𝑚𝑜𝑑 = variable del modelo 𝑚𝑒𝑑= variable medida Los errores pueden surgir en cualquier fase del proceso de modelización, en la identificación, en la toma de datos, pueden aparecer errores en el cálculo con decimales, etc. De hecho, podría darse el caso de que se rechace un buen modelo por dar resultados erróneos cuando el error en realidad estaba en las variables de entrada. Estos errores pueden clasificarse en Errores de aproximación, Errores computacionales y Errores de propagación (Anónimo, 2010). I.10.1.2 Exactitud. Exactitud es el grado de similitud entre los valores medidos y los obtenidos por el modelo. Se trata de un concepto complementario al de error de manera que: Exactitud = 100 − Error expresados en tantos por ciento (Anónimo, 2010). No debe confundirse exactitud con precisión. Este último concepto refleja el grado de detalle con el que una variable puede medirse. Los ordenadores son capaces de devolver valores ilusoriamente precisos con muchas cifras decimales, pero es necesario tener en cuenta que su exactitud no puede ser mayor que la precisión de los parámetros y variables de entrada (Anónimo, 2010). Si el modelo produce errores inaceptables puede ser por varias causas: o El modelo no es apropiado para modelizar el sistema. o El modelo es apropiado, pero está mal construido (errores de programación, errores en las ecuaciones). o Las variables y parámetros utilizados no se han medido correctamente. La solución de estos problemas implica la reconstrucción del modelo. Por tanto el proceso de modelización es iterativo e interactivo (Anónimo, 2010). CAPÍTULO I 24 I.11 Empleo de software para determinar parámetros estructurales en puentes (SAP2000-MATLAB). La disponibilidad de ordenadores de elevada potencia de cálculo y bajo coste, junto con el desarrollo de técnicas basadas en la inteligencia artificial, así como el desarrollo de potentes softwares ha permitido que en las últimas décadas haya crecido de forma importante el diseño de estructuras óptimas. Muchos de estos programas que contienen en su paquete algunas de las técnicas más avanzadas de optimización se han convertido para los ingenieros en herramientas imprescindibles de su ambiente de trabajo (Gonzáles Pérez, 2015). A continuación se referencian algunas de estas potentes herramientas: I.11.1 MATLAB. MATLAB es un gran programa de cálculo técnico y científico su nombre surge de la abreviatura de “MATrix LABoratory” (Rodriguez Pérez de Alejo, 2011). MATLAB integra análisis numérico, cálculo matricial, proceso de señales y visualización gráfica en un entorno completo donde los problemas y sus soluciones son expresados del mismo modo en que se escribirían tradicionalmente, sin necesidad de hacer uso de la programación tradicional (Moore, 2007). Como caso particular puede también trabajar con números escalares tanto reales como complejos, con cadenas de caracteres y con otras estructuras de información más complejas. Además dispone de un código básico y de varias librerías especializadas (toolboxes) (Rodriguez Pérez de Alejo, 2011). Goza en la actualidad de un alto nivel de implantación en escuelas y centros universitarios, así como en departamentos de investigación y desarrollo de muchas compañías industriales. En el mundo industrial, MATLAB está siendo utilizado como herramienta de investigación para la resolución de complejos problemas planteados en la realización y aplicación de modelos matemáticos en ingeniería. Los usos más característicos de la herramienta se encuentran en áreas de computación y cálculo numérico tradicional, prototipaje algorítmico, teoría de control automático, estadística, análisis de series temporales para el proceso digital de señales (Bacuilima G, 2011). CAPÍTULO I 25 Toolboxes más importantes (Bacuilima G, 2011):  Curve fitting: Ajustes de modelos y análisis.  Data Acquisition: Adquiere y envía datos a un instrumento electrónico conectado al computador. (sólo para Windows)  Excel link: Permite usar MATLAB con datos leídos directamente desde planillas Excel.  Image processing: Permite el procesamiento de imágenes, análisis y desarrollo de algoritmos.  MACEC: Es un toolbox programado sobre MATLAB para el análisis modal operacional y experimental (Reynders and De Roeck, 2014).  Partial differential equation: Soluciona y analiza sistema de ecuaciones diferenciales parciales.  Signal Processing: Permite el procesamiento de señales, análisis y desarrollo de algoritmos.  Spline: Crea y manipula modelos de aproximación de datos Spline.  Stabil 2.0: toolbox para el análisis por MEF de estructuras.  Statistics: Permite aplicar modelos estadísticos y modelos de probabilidades.  Structural Dynamics: Analiza modelos de elementos finitos y lleva a cabo análisis modales de sistemas mecánicos.  Wavelet: Analiza, comprime y saca el ruido de señales e imágenes usando técnicas de wavelet.  Optimization: Consta de un conjunto de funciones que resuelven problemas de extremos, con o sin condiciones, de funciones reales las cuales son generalmente multivariables y no lineales. I.11.2 Toolbox de Optimización. El toolbox de optimización consta de un conjunto de funciones que resuelven problemas de extremos, con o sin condiciones, de funciones reales las cuales son generalmente multivariables y no lineales. Asimismo, posee funciones para la resolución de algunos tipos de problemas matriciales en extremos. Resulta conveniente para una comprensión CAPÍTULO I 26 y mejor manejo de la toolbox poseer conocimientos básicos previos de análisis de funciones reales, matrices y teoría de extremos (Bacuilima G, 2011). Entre las principales funciones de la caja de herramientas de optimización están (Bacuilima G, 2011): fminbnd: Esta función resuelve los problemas de optimización de funciones de una variable sin restricciones, se la conoce también como optimización escalar. fminsearch: Esa función en cambio resuelve los problemas de optimización de funciones de más de una variable sin restricciones. fminunc: Esta al igual que la anterior proporciona el mínimo de una función de variables sin restricciones, pero, con la diferencia que utiliza información del gradiente y el hessiano de la función objetivo. fmincon: Esta función determina el mínimo de una función multivariable con restricciones de igualdad y desigualdad, lineales y no lineales. quadprog: Realiza la minimización de una función cuadrática con restricciones de igualdad y desigualdad lineales. linprog: Esta función realiza la optimización de problemas de programación lineal. lsqnonlin: Resuelve por mínimos cuadrados problemas no lineales de funciones o de ajuste de datos. Además está ga-Genetic Algorithm que resuelve por Algoritmos Genéticos diferentes tipos de problemas con o sin restricciones. Al analizar cada una de estas funciones y su aplicación, la función que más se ajusta para resolver el problema de Model Updating es la lsqnonlin, (Reynders and De Roeck, 2014) pues a través de la misma se realiza la optimización de problemas no lineales por mínimos cuadrados mediante el ajuste de datos o valores obtenidos del software SAP2000 mediante la interface OAPI que se realiza con MATLAB. MATLAB también permite la creación de interfaces con otras plataformas mediante las cuales se puede llevar a cabo una resolución conjunta del problema de calibración de un modelo estructural mediante técnicas de optimización (Gonzáles Pérez, 2015). CAPÍTULO I 27 En esta investigación precisamente se emplea la interface OAPI SAP2000-MATLAB, anteriormente puesta en práctica en investigaciones como(Bacuilima G, 2011), (Sextos and Balafas, 2011) aunque también se han realizado recientemente investigaciones como(Sequera Gutiérrez and Solano Rodríguez, 2013), (Gauchía et al., 2014), en las que se emplea una interface ANSYS-MATLAB. I.11.3 SAP2000. SAP2000 es un programa estructural basado en el Método de Elementos Finitos para el análisis y diseño de las estructuras civiles. Ofrece una interfaz de usuario intuitiva y potente con muchas herramientas para ayudar en la construcción rápida y exacta de modelos, al mismo tiempo con las técnicas analíticas sofisticadas necesitadas para hacer proyectos más complicados (Copyright © Computers and Structures, 2013). El elemento dividido en partes pequeñas posee las siguientes características (Bacuilima G, 2011):  Geometría: Sistema de referencia.  Material: Ley constitutiva.  Condiciones de fronteras esenciales: Apoyos.  Condiciones de fronteras naturales: Cargas. SAP2000 está basado en objetos, queriendo decir que los modelos son creados usando miembros que representan la realidad física. Una viga con múltiples miembros dentro de ella es creada como un solo objeto, como existe en el mundo real, y el engranado necesario para asegurar que la conectividad con otros miembros existe es manejado interiormente por el programa. Los resultados del análisis y el diseño son informados para el objeto en conjunto, y no para cada sub- elemento que conforma el objeto, suministrando información que es tanto más fácil interpretar como más consecuente con la estructura física (Copyright © Computers and Structures, 2013). En SAP2000 es posible crear y modificar un modelo, ejecutar el análisis del mismo, así como revisar y diseñar cada elemento. Los resultados se presentan de una manera gráfica en tiempo real. Posee una rápida solución de ecuaciones, esfuerzos y desplazamientos inducidos por cargas, elemento frame de sección no prismática, CAPÍTULO I 28 elemento shell muy exactos, análisis dinámicos, múltiples sistemas de coordenadas, varios tipos de constraint (restricciones) en nodos que ofrece la facilidad de fusionar mallas de elementos independientes. SAP2000 posee además un módulo completo de diseño para acero y concreto reforzado incluido en el mismo programa usado para crear y analizar el modelo (Bacuilima G, 2011). I.11.4 OAPI SAP2000. La Interfaz de Programación de Aplicaciones Abiertas (OAPI por sus siglas en inglés) es una poderosa herramienta que le permite al usuario apropiarse de numerosos procedimientos requeridos para construir, analizar y diseñar modelos y obtener resultados optimizados de los mismos. Además, permite al usuario crear vínculos entre SAP 2000 y softwares de última generación, suministrando una guía para el intercambio de dos flujos de información del modelo con estos programas. La mayor parte de los lenguajes de programación pueden ser utilizados para acceder a SAP2000 a través de la OAPI (Computers & Structures, 2013). Además, mediante su uso, se tiene la opción de desarrollar plugins, que se extienden a la facilidad del uso del programa y están totalmente incorporados dentro del entorno SAP2000. En cuanto a la programación informática, consiste en una biblioteca de software que ofrece acceso a una colección de objetos y funciones capaces de controlar a "distancia" la forma en que se comporta el SAP2000, por lo tanto, anula el procedimiento de hacer clic sobre el SAP2000 para poder trabajar en él. Los aspectos más relevantes de las principales características que ofrece la OAPI se resumen a continuación (Sextos and Balafas, 2011):  Directo, acoplamiento rápido y sólido con los métodos de diseño y análisis del SAP2000.  El flujo de datos es de dos vías, ya que puede ser utilizado para facilitar ambos procedimientos pre y post-procesamiento.  No hay necesidad de usar archivos intermedios, lo que reduce significativamente el tiempo necesario para el intercambio de datos cuando se trabaja en modelos de gran tamaño.  Compatibilidad con la mayoría de los lenguajes de programación más importantes. CAPÍTULO I 29  Transferencia de datos y el control simultáneo de un modelo estructural por diferentes aplicaciones de terceros.  Desarrollo de aplicaciones de terceros que permanecerán compatible con futuras versiones de SAP2000.  Capacidad para desarrollar una interfaz personalizada para SAP2000, calibrado para las necesidades del usuario, o para incorporarla en una aplicación que permite la programación del usuario. I.11.5 Uso de la OAPI SAP2000. Con el fin de hacer uso de las funciones de la OAPI SAP2000 se requiere un fondo de programación sólida, ya que el proceso puede resultar exigente, en términos de conocimientos de programación. Sin embargo, esto no siempre es el caso, cuando se trata de tareas de computación simples. En cualquiera de los casos, la OAPI SAP2000 ofrece una amplia gama de lenguajes de programación que se puede utilizar que cubren la gran mayoría de las modernas opciones de desarrollo de software, incluyendo Visual Basic.NET, Visual Basic para Aplicaciones (VBA), Visual C #, Visual C ++, visual Fortran y MATLAB. Para comenzar con, el acceso a la OAPI requiere nada más que una instalación SAP2000 funcional, ya que todos los componentes que lo forman están instalados de forma automática durante la instalación del programa principal. Su uso, sin embargo, depende en general del lenguaje de programación con que se esté familiarizado en el entorno de programación y que se ha seleccionado para este propósito. Los diferentes entornos de desarrollo integrado (IDE por sus siglas en inglés) ofrecen varias opciones para que el proyecto de programación tenga éxito, adicionalmente, en cada caso, la sintaxis a utilizar y la planificación potencial de la aplicación a desarrollar difieren de acuerdo con las normas del lenguaje. Se debe tener en cuenta que el estilo de programación al que se está acostumbrado tiene que ser adaptado a la forma en que la OAPI está estructurada, sin embargo, los pasos necesarios para realizar una tarea a través de la OAPI se parecen enormemente al procedimiento estándar realizado cuando se trabaja desde SAP2000 (Sextos and Balafas, 2011). CAPÍTULO I 30 También se proporciona junto con la instalación un archivo con la documentación detallada (CSi_OAPI_Documentation.chm) como asistente general en la utilización de la OAPI de SAP2000, que incluye toda la información necesaria que ayudará a acostumbrarse a la programación de la OAPI. Esta guía es para ser utilizada en el desarrollo del software SAP2000, ya que contiene una lista completa de todas las funciones únicas previstas, acompañadas de su sintaxis exacta, una descripción detallada de los argumentos que maneja y un ejemplo comentado de su uso (Sextos and Balafas, 2011). I.11.6 Funciones de la OAPI SAP2000. Las funciones de CSi OAPI se aprecian en el diagrama 2. Diagrama 2: Funciones de la CSi OAPI (Chagoyén Méndez, 2015). La convención de las funciones de la OAPI, así como las otras numerosas funciones que se encuentran incluidas dentro de las Funciones Generales de la CSi OAPI se describe en (Computers & Structures, 2013). I.11.7 Algoritmo para calibrar el modelo de elementos finitos. La interface OAPI SAP2000 permite realizar no solo la modelación, sino que también la calibración de los modelos realizados en SAP2000 a partir de la versión 11 o desde MATLAB con el correspondiente lenguaje de programación. El algoritmo desarrollado puede simplificarse según lo ilustrado en el diagrama 3. Funciones de CSi OAPI F u n c io n e s G e n e ra le s A n a li s ys M o d e l E d it F il e D e fi n it io n O je c t M o d e l A n a li ze A n á li s ys R e s u lt s D e s ig n S e le c t O p ti o n s V ie w B ri d g e A d va n c e d CAPÍTULO I 31 Diagrama 3: Algoritmo para calibrar el modelo. En este caso de estimación de parámetros modales para calibrar el modelo se emplea un algoritmo de optimización basado en el método de la región de confianza Gauss- Newton(Reynders et al., 2007) implementando en MATLAB la función: lsqnonlin (Reynders and De Roeck, 2014). El vector 𝜃 contiene los parámetros de rigidez a actualizar. Suponiendo que el vector 𝑟(𝜃) contiene las diferencias entre los parámetros del modelo numérico con las propiedades de la rigidez y los parámetros modales medidos. La forma común de resolver el problema de calibración es mediante la minimización del vector residual 𝑟(𝜃) empleando mínimos cuadrados, lo cual corresponde a la minimización de la función objetivo (Reynders et al., 2007). 𝑓(𝜃) = 1 2 ‖𝑟(𝜃)‖2 (9) 𝑟(𝜃) = [ 𝑤𝑓𝑟𝑓(𝜃) 𝑤𝑠𝑟𝑠 (𝜃) 𝑤𝑐𝑟𝑐(𝜃) ] 𝜔𝑓= factor de peso para residuos por frecuencias naturales 𝜔𝑠= factor de peso para residuos por formas modales 𝜔𝑐= factor de peso para residuos por curvatura modal (9.1) CAPÍTULO I 32 A su vez el vector residual consta de tres partes: 𝑟𝑓𝑗(𝜃) = 𝑓𝑗(𝜃)2 − 𝑓𝑗 2̃ 𝑓𝑗 2̃ residuos por frecuencias naturales (9.1.1) 𝑟𝑠𝑗(𝜃) = ∅𝑗 (𝜃) ∙ 𝑀𝑆𝐹𝑗 − ∅�̃� residuos por formas modales (9.1.2) 𝑟𝑐𝑗(𝜃) = 𝑘𝑗(𝜃) ∙ 𝑀𝑆𝐹𝑗 − 𝑘�̃� residuos por curvatura modal (9.1.3) Los términos 𝑓𝑗 y 𝑓�̃� denotan las frecuencias numéricas y experimentales del modo j, respectivamente. Los términos ∅𝑗 y ∅�̃� denotan las formas modales numéricas y experimentales del modo j, respectivamente. 𝑀𝑆𝐹𝑗 es el factor de escala modal del modo j, definido en la ecuación 10. 𝑀𝑆𝐹𝑗 = ∅𝑗 �̃�∅𝑗 ∅𝑗 𝑇∅𝑗 (10) Los términos 𝑘𝑗 y 𝑘�̃� denotan las curvaturas modales numéricas y experimentales del modo j, respectivamente. I.12 Optimización en la calibración de un modelo estructural. La optimización consiste en obtener un resultado que satisfaga en diferentes aspectos el proceso de calibración como el tiempo de computo o la precisión del resultado después de realizada la misma, es decir, consiste en mejorar el funcionamiento y el proceso de la calibración a través de distintas metodologías (Sequera Gutiérrez and Solano Rodríguez, 2013). En general, se puede decir que las técnicas de optimización buscan un conjunto de valores de las variables de diseño, que haga mínima una función objetivo y cumpla a la vez una serie de restricciones que dependen de las mismas variables (Bacuilima G, 2011). CAPÍTULO I 33 I.12.1 Conceptos básicos en un proceso de optimización. Los problemas de optimización generalmente están compuestos por variables, función objetivo y restricciones. I.12.1.1 Variables de diseño. Son variables independientes que son iteradas en orden para alcanzar el diseño óptimo. Se especifican límites superiores e inferiores como "restricciones" en las variables de diseño. Estos límites restringen el rango de variación de las Variables de Diseño (DVs, por sus siglas en inglés).(Rodríguez Calderón et al., 2007). Algunos ejemplos de estas variables pueden ser el módulo de elasticidad, la densidad o el módulo de corte de un material. Hay que tener en especial cuidado en los límites seleccionados debido a que estos son importantes en el momento de evaluar si un resultado es factible o no (Sequera Gutiérrez and Solano Rodríguez, 2013). I.12.1.2 Variables de estado. Variables de Estado (SVs por sus siglas en inglés) son cantidades que condicionan o restringen el diseño. Se conocen también como "variables dependientes", y son típicamente variables de respuesta que son funciones de las variables de diseño. Una variable de estado puede tener un límite máximo y un límite mínimo, o puede tener un “único límite”.(Rodríguez Calderón et al., 2007). Algunos ejemplos de estas variables pueden ser las deflexiones en distintos puntos a lo largo de la geometría de un modelo o los modos de vibración y frecuencias naturales de una estructura (Sequera Gutiérrez and Solano Rodríguez, 2013). I.12.1.3 Función Objetivo. La función objetivo es la función que mide cuantitativamente el funcionamiento del sistema en un proceso de optimización esto quiere decir que se busca una maximización o minimización de esta, y es la base para seleccionar dentro de una gama de diseños aceptables. La función objetivo es una función vectorial de las variables de diseño. Representa la propiedad más importante de un diseño. Debido a la versatilidad de la función objetivo para adaptarse al problema propuesto, esta función puede ser continua, discreta o mezclada en aquellos casos en donde entre CAPÍTULO I 34 ciertos intervalos la función se define como discreta y en otros intervalos se define como continua (Cujia Meza, 2010). Es una función de las DVs, entonces, si cambian los valores de las DVs cambia el valor de la función objetivo(Sequera Gutiérrez and Solano Rodríguez, 2013). En este caso se debe trabajar tomando como función objetivo la ecuación 9 que incluye el vector residual 𝑟(𝜃) descrito en el epígrafe I.11.7. El procedimiento termina cuando se haya alcanzado un alto grado de correlación entre ambas respuestas, la medida y la modelada. I.12.1.4 Restricciones. Las restricciones en el comportamiento del diseño estructural son generalmente las limitaciones en los esfuerzos o en los desplazamientos, pero también pueden tomar la forma de restricciones en frecuencias de vibración o probabilidad al colapso (Sequera Gutiérrez and Solano Rodríguez, 2013). I.12.2 Métodos de optimización para calibración de modelos estructurales. Todos métodos de optimización involucran procesos matemáticos, por ende según la clase de procesos a realizar los métodos de optimización se pueden clasificar en dos grandes grupos (Cujia Meza, 2010). I.12.2.1 Métodos Clásicos. Un método de optimización clásico es aquel que usa las derivadas (gradientes). Se puede decir que estos métodos buscan y garantizan un óptimo local, pero sin un tiempo determinado. Los métodos con derivadas se basan en tres algoritmos fundamentales: pendiente máxima (steepest descent), el método de Newton (Newton’s method) y el método Levenberg-Marquart. Sin embargo no son los únicos métodos y algoritmos, pero todos los demás resultan de mejoras y combinaciones de estos(Cujia Meza, 2010). I.12.2.2 Métodos Metaheurísticos. Un método heurístico es aquel que no utiliza metodología común, y rigurosa para obtener un resultado. De manera general estos métodos dan un resultado aceptable en tiempo aceptable, además de su aplicabilidad cuando se presenta una función objetivos CAPÍTULO I 35 con múltiples puntos óptimos o cuando estas funciones están compuestas por intervalos continuos y discretos. Se fundamentan en el uso de conceptos intuitivos basados en sistemas naturales, como por ejemplo la evolución. El solo hecho de no usar derivadas que en ciertos casos pueden ser tediosas o aun casi imposibles de obtener, le da a estos métodos una flexibilidad, y una gran extensión de aplicabilidad cuando las condiciones del modelo son complejas. La manera de encontrar la solución de dichos métodos es a través de la iteración. Algunos ejemplos de estos métodos son: Tomado de (Cujia Meza, 2010). o Algoritmos Genéticos. o Recocido Simulado (Simulated Annealing SA). o Búsqueda Aleatoria (Random Search). o Método Nelder–Mead o Método Ameba (Downhill Simplex Search). o Optimización por Enjambres de Partículas (Particle Swarm Optimization “PSO”). o Ascenso de montañas (Stochastic Hill-climbing). o Algoritmos Meméticos. I.12.2.2.1 Algoritmos Genéticos. Los algoritmos genéticos corresponden a la clase de métodos estocásticos de búsqueda. Mientras la mayoría de estos métodos operan sobre una única solución, estos algoritmos operan en una población de soluciones. La idea básica, inspirada en los procesos evolutivos en biología, es que el contenido genético de una población contiene potencialmente la solución, o una solución mejor, a un dado problema de adaptación. Esta solución puede estar inactiva porque la combinación genética adecuada esta diseminada entre varios sujetos. Solo la asociación de genomas distintos puede llevar a la activación de la solución (Ison et al., 2005). Esta técnica se basa en la teoría de la evolución de Darwin, que dice que los individuos más aptos de la población lograrán sobrevivir a los cambios que realiza el entorno. La idea fue desarrollada por John Holland a finales de los 60, donde desarrolló una técnica que pudo incorporar a un programa, llamándola “planes reproductivos”, que más adelante nombró como algoritmos genéticos. Estos algoritmos son menos afectados CAPÍTULO I 36 (que las técnicas tradicionales) cuando se trata de maximizar una función objetivo y existen varios máximos locales (falsas soluciones), al ser su naturaleza de cierto modo paralela por lo que resulta fácil ejecutarlos en las masivamente modernas arquitecturas paralelas (Cujia Meza, 2010). I.12.3 Optimización Estructural. La optimización estructural ha tenido gran aceptación, se podría decir que en casi toda su historia el desarrollo de esta rama ha sido de carácter analítico, cuyo objetivo se puede generalizar en “minimizar el costo, o minimizar el peso”, de tal manera que se satisfaga con el diseño y con los requerimientos de este. Pero hoy en día se puede observar que todos los métodos modernos para el diseño óptimo son tan abiertamente generales que se puede realizar el análisis con una cantidad bastante extensa de hipótesis de “carga”, o “situaciones” de colapso; esto se ha podido realizar gracias a la oportunidad que le ha dado la computación a esta rama de la optimización, al reducir el tiempo en todos sus procesos analíticos, le brindó la oportunidad de extender el estudio de esta (Cujia Meza, 2010). I.12.3.1 Tipos de Optimización Estructural según el tipo de problemas. En el diseño estructural, la optimización varía según el problema de diseño que se está tratando; algunos de estos problemas se han venido trabajando desde cierto tiempo atrás, mientras que otros de ellos son recientes o totalmente nuevos en sus estudios y aplicaciones, se podría así clasificar los tipos de optimización estructural en dos grandes categorías (Feng et al., 2006). En el diagrama 4 se coloca esta clasificación. Diagrama 4: Tipos de Optimización Estructural según el tipo de problemas. Problemas Clásicos de Optimización estructural •Optimización de la Forma •Optimización de Dimensionamiento Directo Problemas especiales de Optimización Estructural •Optimización de la Topología •Optimización de la Detección de Daños en Estructuras •Optimización en Ajustes de Modelos CAPÍTULO I 37 I.13 Conclusiones parciales del capítulo: Una vez realizado el marco teórico sobre la estimación de parámetros estructurales en modelos de puentes y temas afines a esta investigación se arriban a las siguientes conclusiones. Sobre los métodos de excitación de la estructura:  Los métodos de para realizar la excitación de los puentes son numerosos, ahora bien, la selección del más adecuado depende de las disponibilidades por cuanto al cierre de la estructura, de los requerimientos de instrumentación y de manejo de información, así como de los resultados que persiga la investigación realizada. Sobre la instrumentación de puentes y el equipamiento utilizado:  La instrumentación de puentes es un paso fundamental en el estudio del comportamiento estructural de los puentes sometidos a ensayos dinámicos o estáticos pues a través de esta se obtienen los resultados de las mediciones