Generación de polinomios primitivos sobre extensiones de campos finitos 𝔽2n

Abstract

La teoría de los polinomios sobre campos finitos resulta fundamental para la investigación de la estructura algebraica de los campos finitos y sus aplicaciones. En particular, los polinomios primitivos sobre extensiones de campos finitos son vitales en el diseño de componentes de algoritmos criptográficos tales como las matrices MDS (Maximum Distance Separable) y los RDL (Registros de Desplazamiento con retroalimentación Lineal); además son indispensables en la construcción de ciertos códigos correctores de errores. En este trabajo se presenta un algoritmo para la generación de polinomios primitivos sobre extensiones de campos finitos de característica dos. Para la construcción del algoritmo se utilizan algunos conceptos de la teoría de números y los campos finitos como los cosetos q-ciclotómicos y los elementos primitivos, respectivamente. Además, se efectúa un análisis de la complejidad computacional del algoritmo expuesto. Se realiza un estudio de varios algoritmos, para la construcción de polinomios primitivos, reportados en la literatura y se comparan en cuanto a complejidad computacional con el algoritmo desarrollado. Por último, se describe la implementación del algoritmo propuesto especificando las posibles variaciones de la misma en dependencia del tamaño del espacio de trabajo y se comprueban los resultados obtenidos mediante la ejecución de una serie de experimentos.